题解 P4322 [JSOI2016]最佳团体

P4322 [JSOI2016]最佳团体

分数规划+树形背包。

可以根据推荐关系建出一颗树，然后如果选了一点，则该点到根上的所有点都必须选。

二分 $mid$，定义每个结点的权值，然后判断选 $k+1$ 个节点的最大值是否大于 $0$。

设 $f_{i,j}$ 为当前节点 $i$，在其子树内选了 $j$ 个节点，最大点权和为多少。

转移方程为 $f_{u,j}=\max(f_{u,j},f_{u,j-t}+f_{v,t})$。

初始化为 $f_{u,0}=0$，$f_{u,1}=val_u$，其余皆为 $-inf$。

然后我们发现这个 DP 的复杂度貌似是 $O(n^3)$。

但将各种限制条件加上后就变成了 $O(n^2)$。本人很菜，没法证明。

所以最终复杂度为 $O(n^2 \log n)$。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int N = 2500 + 5;
const db eps = 1e-5, inf = LLONG_MAX >> 1;
int k, n, fa[N], siz[N];
db s[N], p[N], val[N], f[N][N];
vector<int> adj[N];
void dfs(int u) {
	siz[u] = 1; f[u][1] = val[u];
	for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) {
		int v = adj[u][i]; if (v == fa[u]) continue;
		dfs(v); siz[u] += siz[v];
		for (int j = min(k + 1, siz[u]); j > 1; --j) {
			for (int k = 0; k <= min(siz[v], j - 1); ++k) {
				f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[v][k]);
			}
		}
	}
}
bool check(db mid) {
	for (int i = 0; i <= n; ++i) val[i] = p[i] - mid * s[i];
	for (int i = 0; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= k + 1; ++j) f[i][j] = -inf;
	dfs(0);
	return f[0][k + 1] > 0; 
}
int main() {
	cin >> k >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lf%lf%d", &s[i], &p[i], &fa[i]);
		adj[fa[i]].push_back(i);
	}
	double l = 0, r = 1000;
	while (r - l > eps) {
		db mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid)) l = mid;
		else r = mid;
	}
	printf("%.3lf\n", l);
	return 0;
}