BZOJ2734: [HNOI2012]集合选数

2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。 
 

Input

 只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。 
 

Output

 仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。 
 

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

 

Source

题解：膜拜各位神犇，这道题根本不会写，只能看题解

　　　我们可以建立一个这样的矩阵

　　　1 2 4 8 16......

　　　3 6 12 24 48......

 　　  9 18 36 72 144....

　　　.........

　　　我们根据这个矩阵可以发现当我们选择矩阵上的点的时候不能同时选择其右边的和下面的

　　　于是我们对于每一行进行转移即可

　　　但是我们发现对于目前的这个矩阵来说，并未包含所有的数，例如:5,7......

　　　所以对于没出现的数字，我们以其为左上角，建立一个同类型矩阵，

　　　然后因为其满足乘法原理，每个矩阵答案相乘即可

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define mod 1000000001
#define ll long long 
using namespace std;
int f[20][1<<12],a[20][20],n;
ll lim[50];
bool vis[100005];
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch;
    while (ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9') if (ch=='-') f=-1;
    while (x=x*10+ch-'0',ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9');
    return x*f;
}
int get(int x)
{
    memset(lim,0,sizeof(lim)); a[1][1]=x;
    for (int i=2; i<=18; i++) if (a[i-1][1]*2<=n) a[i][1]=a[i-1][1]*2; else a[i][1]=n+1;
    for (int i=1; i<=18; i++) for (int j=2; j<=11; j++) if (a[i][j-1]*3<=n) a[i][j]=a[i][j-1]*3; else a[i][j]=n+1;
    for (int i=1; i<=18; i++) for (int j=1; j<=11; j++) if (a[i][j]<=n) {
        vis[a[i][j]]=1; lim[i]+=1<<(j-1); 
    }
    for (int i=0; i<=18; i++) for (int j=0; j<=lim[i]; j++) f[i][j]=0;
    f[0][0]=1;
    for (int i=0; i<18; i++) for (int j=0; j<=lim[i]; j++) if (f[i][j]){
        for (int k=0; k<=lim[i+1]; k++)
        if (!(k&(k>>1)) && !(j&k)) f[i+1][k]=(f[i+1][k]+f[i][j])%mod;
    }
    return f[18][0];
}
int main()
{
    n=read();  int ans=1;
    for (int i=1; i<=n; i++) if (!vis[i]) ans=1ll*ans*get(i)%mod;//,cout<<" "<<i<<endl;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}