单调栈

 单调栈：

单调栈解决的是：以某个值为最小（最大）值的最大区间。

实现方法：

求最小值（最大值）的最大区间，维护一个递减（递增）的栈。（下面以求最小值最大区间为例）

当遇到一个比栈顶小的值的时候开始弹栈，弹栈停止的位置到这个值的区间即为此值左边的最大区间；同时，当一个值被弹掉的时候也就意味着比它更小的值来了，也可以计算被弹掉的值的右边的最大区间。

单调递增：数据出栈的序列为单调递增序列（即从栈顶到栈底的元素是单调递增的）

单调递减：数据出栈的序列为单调递减序列（与上面相反）

 模板如下：

stack<int> sta;
for (遍历这个数组)
{
    while(栈不为空 && 栈顶元素小于当前元素){
        更新结果；
        栈顶元素出栈；
    }
    if(栈空 || 栈顶元素大于等于当前比较元素){
        当前数据入栈;
    }
}

 或

stack<int> sta;
for (遍历这个数组)
{
    if(栈空 || 栈顶元素大于等于当前比较元素){
        入栈;
    }
    else{
        while(栈不为空 && 栈顶元素小于当前元素){
            更新结果;
            栈顶元素出栈;
        }
        当前数据入栈;
    }
}
                            

 /*如果要使最后单调栈内的元素能全部弹出，一般要在数组最后加一个符合条件的值，使栈内元素能全部弹出。*/

例题：Largest Rectangle in a Histogram

题意

求所给出的条形图可形成的最大矩形面积。

题解

以每一个矩形的高度作为最终大矩形的高度，看最宽能是多少，然后统计最优解。（暴力法O(n^2）超时）

维护单调栈（单调递减），当前高度数值大于栈顶元素大小则入栈，小于则出栈。在维护单调性的弹出操作时统计宽度，不断更新答案即可得到最优解。

即为求以每个高度为最小值的最大宽，计算形成的矩形面积，不断更新答案求最大面积值。

Code1：（用STL的stack）

具体做法：当遇到一个比栈顶小的值的时候开始准备弹栈，此时意味着栈顶的值遇到了比它小的值，所以当前位置即为以该栈顶即将弹出的值为最小值的区间最右端；每个当前准备入栈的值的左端点初始化为当前位置，当需要弹栈时，弹栈最后停止的位置更新为当前准备入栈的值的左端点；故每弹一次栈即可求以弹栈值为最小值的最大区间。（注意得到的区间是为左闭右开的）

#include<cstdio>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll h[maxn];
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n)&&n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&h[i]);
        }
        h[n+1]=0;//为了让栈内的元素最后能全部弹出，令h[n+1]=0。因为是多测试用例，所以这里必须重新初始化，否则可能会受前一次测试用例影响
        ll area,Max=-1;
        stack<pair<ll,ll> >S;//第一个存高度值，第二个存当前高度可达到的最左端位置
        for(int i=1;i<=n+1;i++){
            ll L=i;//可达的最左端位置L初始化为当前位置
            while(!S.empty()&&h[i]<=S.top().first){ //出栈
                L=S.top().second;//为当前准备入栈的高度值更新可达的最左端位置L
                area=(i-L)*S.top().first;//L为矩形左边界，当前i为右边界，i-L为矩形的宽，S.top().first为矩形的高
                Max=max(area,Max);
                S.pop();
            }
            if(S.empty()||h[i]>S.top().first)//入栈
                S.push({h[i],L});
        }
        printf("%lld\n",Max);
    }
    return 0;
}

 Code2：手写栈

写法不同于上面，但根源思路其实是一样的。

/*AC 109ms*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
typedef long long ll;
const int MAX=1e5+5;
using namespace std;
ll h[MAX],w[MAX],stack[MAX];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        memset(h,0,sizeof(h));//多测试用例，必须要重新初始化
        ll ans=0,k;///k为右宽
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&h[i]);
        }
        
        h[n+1]=0;//为了方便把最后剩下的单调递增的矩形也统计进去，我们假设h[n+1]的位置有一个高度为0的矩形，最后将它加入单调栈时他会将所有矩形都弹出，那么答案也就完成最后的更新了。
        int top=0;
        stack[0]=-1;///注意这里要将单调栈的0下标位置初始化为-1，否则有可能会在下面while处陷入死循环导致超时
        
        for(int i=1;i<=n+1;i++){
            if(h[i]>stack[top]){///严格单调递减
                stack[++top]=h[i];///入栈
                w[top]=1;//左宽为1，即该入栈元素本身
            }
            else{
                k=0;///第一个出栈元素右宽为0
                while(h[i]<=stack[top]){
                    w[top]+=k;///算出该出栈元素的总宽（左宽+右宽）
                    ans=max(stack[top]*w[top],ans);///计算以该出栈元素为高的矩形面积，更新最优解
                    k=w[top];///下一个出栈元素的右宽为上一个出栈元素的总宽
                    top--;
                }
                stack[++top]=h[i];///入栈
                w[top]=1+k;//该入栈元素左宽为最后一个出栈元素的总宽+1
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

题目：Feel Good

题意

给出正整数n和一个(1 <= n <= 100 000)长度的数列，要求找出一个子区间，使这个子区间的数字和乘上子区间中的最小值的结果最大。输出这个最大值与区间的两个端点。

题解

前缀和+单调栈，和上面的题原理一样，具体看代码

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        ll a[maxn]={},sum[maxn]={};
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        a[n+1]=-1;
        stack<pair<ll,ll> >sta;
        ll ans=-1,l,r;
        for(int i=1;i<=n+1;i++){
            ll Left=i;
            while(!sta.empty()&&a[i]<=sta.top().first){
                if((sum[i-1]-sum[sta.top().second-1])*sta.top().first>ans){
                    ans=(sum[i-1]-sum[sta.top().second-1])*sta.top().first;
                    l=sta.top().second;//记录最大结果的左右端点
                    r=i-1;
                }
                Left=sta.top().second;
                sta.pop();
            }
            sta.push({a[i],Left});
        }
        printf("%lld\n",ans);
        printf("%lld %lld\n",l,r);
    }
    return 0;
}