容容容容斥斥斥容容斥（完善中）

Part 0 容斥原理

§ 0.0 容斥原理及其本质

表达式各个部分的含义

最常见到的容斥原理的形式如下：

\[\left| \bigcup_{i=1}^{n} S_{i} \right| = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \sum_{T\subseteq [1,n], |T|=i}\left| \bigcap_{j\in T} S_j \right| \]

如何理解？

假如说我们面对一个特殊的问题，计算某些集合的交集十分容易，也就是说，我们可以在极低的开销下，指定若干个属性，并统计拥有这些属性的元素的个数。

注意，不是“恰好拥有”，而就是简单的“拥有”。

现在我们定义一种操作，指定一个 \(k\)，对于所有大小为 \(k\) 的，由属性组成的集合，分别查询拥有这个集合内全部属性的元素个数，然后把所有结果相加。

注意！这里查询的不是并集，有一些元素会被计算多次！一些博客文章会把这种操作称为“查询至少有 \(k\) 个属性的元素数目”，这种称呼其实不是很严谨。

为了下面的叙述方便，我们把这一操作称为 “钦定拥有 \(k\) 个属性的元素数目”，这也是 OI 界对这种形式的操作的通常称呼。

那在这种条件下，如何统计一共有几个元素至少有一种属性呢？

我们统计钦定拥有 \(1\) 个属性的元素数目，显然所有由两个或者以上的属性的元素会被算重恰好两次。

接下来，只要我们参与运算的量都是形如【钦定拥有 \(>1\) 种属性的元素数目】，那么那些只有一个属性的元素就不会受到影响了，他们就已经彻底被解决了。

那么我们减去钦定拥有 \(2\) 个属性的元素的数目，但是这样似乎又会减多了，虽然拥有两个属性的东西的数目都正确了，但是拥有更多属性的都降到零了。

所以为了填补这部分的空缺，继续重复以上过程直到结束（计算完【钦定拥有 \(n\) 个属性的元素的数目】之后就进行不下去了），就得到了最上面的式子。

根据刚刚的过程，回顾一下式子的含义：

\[\left| \bigcup_{i=1}^{n} \{x|\textcolor{red}{p_i(x)}\} \right| = \sum_{i=1}^{n} \textcolor{blue}{(-1)^{i-1}} \textcolor{orange}{\sum_{T\subseteq [1,n], |T|=i}\left| \bigcap_{j\in T} \{x|\textcolor{red}{p_j(x)}\} \right| } \]

这里把 \(S_i\) 展开写成了 \(\{x|p_i(x)\}\)，其中标红的 \(p_k(x)\) 就是刚刚说的“属性”。

标为橙色的部分代表的就是“钦定有 \(i\) 个属性”的元素数目。

标为蓝色的叫做容斥系数，代表了刚刚过程中加上还是去掉的动作，一般来说容斥系数的指数就是“钦定”的属性的数目减去一。

变型

一般来说，容斥原理适用于以下的两种情况：

1. 计数满足多个条件其一的对象数目。把满足一个条件的对象组成一个集合，然后直接套用容斥即可。
2. 计数满足所有条件的对象数目。这个时候把限制取反，那么计数的对象转变为求所有满足至少一条限制的对象数目，这个可以用容斥做，再用全集的大小减去这个答案。

经验：做容斥题的时候，想办法让“限制的数目”变成一个常量，方法包括但不限于加入大小为零的对象、不可能满足的条件等。

而对于后面的一种情况，式子可以写作：

\[\begin{align*} \left| \bigcap_{i=1}^{n} {S_{i}} \right| &= \left| U \right| - \left| \bigcup_{i=1}^{n} \overline{S_{i}} \right|\\ &=|U| - \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \sum_{T\subseteq [1,n], |T|=i}\left| \bigcap_{j\in T} \overline{S_{j}} \right| \\ &=|U| + \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i} \sum_{T\subseteq [1,n], |T|=i}\left| \bigcap_{j\in T} \overline{S_{j}} \right| \\ \end{align*} \]

所以，这种情况下需要做的是：把容斥系数的指数加一；限制取反；最终加上全集的大小。

容斥恒等式

事实上，容斥原理的表达式还蕴含了一个信息：每个元素对于右侧式子的贡献为 \(1\)，对左侧式子的贡献也为 \(1\) .

换句话说，如果每个元素的权值不一样的情况下，对于任意的函数 \(f(x)\) 而言，也有如下形式的容斥原理：

\[\sum_{x}\left(\left[ x\in \bigcup_{i=1}^{n} S_{i}\right]f(x)\right) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \sum_{T\subseteq[1,n],|T|=i }\left(\sum_{x}\left[ x\in \bigcap_{j\in T} S_j \right]f(x)\right) \]

呃这么写似乎有点反人类

用另一种方法来写的话，我们考虑到表达式右侧的部分，相当于在 \(x\) 的限制集合中，挑选出一些，并根据挑选出的多少决定 \(x\) 向总和中贡献 \(1\) 还是 \(-1\) 次，也就是下面的式子：

\[1 = \sum_{T\subseteq [1,n],T\neq \emptyset}(-1)^{|T|-1} \]

很自然的，我们想把 \(T=\emptyset\) 的情况包括进去。

\[0 = \sum_{T\subseteq [1,n]}(-1)^{|T|-1} \]

但是这里我们默认了 \(n\geq 1\)，去掉这个条件之后，就有了

\[[S=\emptyset] = \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|} \]

这个恒等式就是容斥原理的本质了，它对于任意的集合 \(S\) 都成立。

证明的话，用二项式系数就可以了。

§ 0.1 子集反演

所以，不知道是出于什么原因，你有了一个关于集合的函数 \(g(A)\) 和一个集合 \(S\)，我们定义函数 \(f(A)\) 如下：

\[f(A) = \sum_{B\subseteq A} g(B) \]

现在你已知任意 \(T\subseteq S\) 的 \(f(T)\)，能否求得 \(g(S)\) 呢？

这是一个标准的反演问题，笔者会在不久后写一篇专门的博文。但是这里先用容斥原理解决。

考虑用容斥解决，我们定义一堆新的集合 \(\{S_x'\}\)，一个元素就是一个 \(g(S_x')\)，要求的是 \(\{S_x'\}\)中满足【 \(S\) 中每一个元素被选定到其中】的 \(S_k'\) 所对应的 \(g(S')\) .

而这是限制的交集，每一个限制形如 “\(S\) 中的某个元素 \(x\) 被选定到 \(S_k'\) 中”。

用容斥解决的话先找出全集的贡献：【对于所有 \(T\subseteq S\)，\(g(T)\) 的和】。然后再把限制取反：【钦定某几个元素不选定到 \(S'\) 中】。最后容斥系数就是钦定了几个：\((-1)^{|A|}\) .

所以我们轻松地得到了式子：

\[g(S) = V + \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i} \sum_{T\subseteq [1,n], |T|=i} F(T) \]

\(V\) 表示全集的贡献，而不是全集本身。

其中 \(F(T)\) 表示【 \(T\) 中的元素全都不出现在其中】的所有 \(S_k\) 的 \(g\) 函数值之和，而这其实就是 \(f(S-T)\) . 然后交换一下求和顺序，可以得到：

\[g(S)= V + \sum_{T\subseteq S,T\neq \emptyset} (-1)^{|T|} f(S-T) \]

观察到 \(V\) 这一项可以和后面的东西合并（\(T=\emptyset\)）。最后换元，整个式子化简成：

\[g(S) = \sum_{T\subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} f(T) \]

加上条件：

\[f(S) = \sum_{T\subseteq S} g(T) \Leftrightarrow g(S) = \sum_{T\subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} f(T) \]

这个就叫子集反演。

然后我们令 \(S = \complement_{U}S,T = \complement_{U}T\)

\[f(\complement_{U}S) = \sum_{\complement_{U}T \subseteq \complement_{U}S} g(\complement_{U}T) \Leftrightarrow g(\complement_{U}S) = \sum_{\complement_{U}T\subseteq \complement_{U}S} (-1)^{|\complement_{U}S|-|\complement_{U}T|} f(\complement_{U}T) \]

做一些小调整：

\[f(\complement_{U}S) = \sum_{T \supseteq S} g(\complement_{U}T) \Leftrightarrow g(\complement_{U}S) = \sum_{T\supseteq S} (-1)^{|T|-|S|} f(\complement_{U}T) \]

然后再定义两个新函数：

\[F(A) = f(\complement_{U}A)\\ G(A) = g(\complement_{U}A) \]

带入刚刚的式子：

\[F(S) = \sum_{T \supseteq S} G(T) \Leftrightarrow G(S) = \sum_{T\supseteq S} (-1)^{|T|-|S|} G(T) \]

这就是子集反演的补集形式。能不能叫超集反演

§ 0.2 二项式反演

把刚刚子集反演的 \(g(A)\) 定义为 \(|A|\)，就得到了二项式反演。

§ 0.3 Min-Max容斥

基本形式

现在你有一些数字，你需要求出它们的最大值，但是你不能比较两个元素的大小，只能查询任意一个集合里面的最小值。

这该怎么做呢？

我们把一个数字 \(x\) 换成一个集合 \(\{1,2,\cdots,x\}\)，那么一堆数字的 \(\max\) 可以看作一堆集合的并集；一堆数字的 \(\min\) 可以看做一堆集合的交集。

诶，这个就可以容斥了。

\[\max_{x\in S}x = \sum_{T\subseteq S,|T|>0}(-1)^{|T|-1} \min_{y\in T} y \]

当然，我们把 \(x\) 映射到的集合改成 \(\{x+1,x+2,\cdots,\max_{k\in S}k\}\)，就可以得到利用 \(\max\) 计算 \(\min\) 的情况了，如下（记 \(\max_{k\in S}k = M\)）：

\[M - \min_{x\in S}x = \sum_{T\subseteq S,|T|>0}(-1)^{|T|-1}(M - \max_{y\in T} y) \]

化简：

\[M - \min_{x\in S}x = \sum_{T\subseteq S,|T|>0}(-1)^{|T|-1}M - \sum_{T\subseteq S,|T|>0}(-1)^{|T|-1}\max_{y\in T} y \]

根据容斥恒等式，有：

\[\min_{x\in S}x = \sum_{T\subseteq S,|T|>0}(-1)^{|T|-1}\max_{y\in T} y \]

这个和上面那个式子就叫做 Min-Max 容斥。

虽然没人会用这种方式求最大值，但是这个东西是可以推广到期望中的！

在期望方面的应用

假如我们想要计算一个序列最大值的期望：

\[\sum_{d|n}\varphi(d) = n \]