容容容容斥斥斥容容斥（完善中）

Part 0 容斥原理

§ 0.0 容斥原理及其本质

表达式各个部分的含义

最常见到的容斥原理的形式如下：

$$\left|\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right|=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\sum _{T\subseteq [1,n],|T|=i}\left|\bigcap _{j\in T}{S}_j\right|$$

如何理解？

假如说我们面对一个特殊的问题，计算某些集合的交集十分容易，也就是说，我们可以在极低的开销下，指定若干个属性，并统计拥有这些属性的元素的个数。

注意，不是“恰好拥有”，而就是简单的“拥有”。

现在我们定义一种操作，指定一个 $k$，对于所有大小为 $k$ 的，由属性组成的集合，分别查询拥有这个集合内全部属性的元素个数，然后把所有结果相加。

注意！这里查询的不是并集，有一些元素会被计算多次！一些博客文章会把这种操作称为“查询至少有 $k$ 个属性的元素数目”，这种称呼其实不是很严谨。

为了下面的叙述方便，我们把这一操作称为 “钦定拥有 $k$ 个属性的元素数目”，这也是 OI 界对这种形式的操作的通常称呼。

那在这种条件下，如何统计一共有几个元素至少有一种属性呢？

我们统计钦定拥有 $1$ 个属性的元素数目，显然所有由两个或者以上的属性的元素会被算重恰好两次。

接下来，只要我们参与运算的量都是形如【钦定拥有 $>1$ 种属性的元素数目】，那么那些只有一个属性的元素就不会受到影响了，他们就已经彻底被解决了。

那么我们减去钦定拥有 $2$ 个属性的元素的数目，但是这样似乎又会减多了，虽然拥有两个属性的东西的数目都正确了，但是拥有更多属性的都降到零了。

所以为了填补这部分的空缺，继续重复以上过程直到结束（计算完【钦定拥有 $n$ 个属性的元素的数目】之后就进行不下去了），就得到了最上面的式子。

根据刚刚的过程，回顾一下式子的含义：

$$|\bigcup _{i=1}^n\{x|p_i(x)\}|=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\sum _{T\subseteq [1,n],|T|=i}|\bigcap _{j\in T}\{x|p_j(x)\}|$$

这里把 $S_i$ 展开写成了 $\{x|p_i(x)\}$，其中标红的 $p_k(x)$ 就是刚刚说的“属性”。

标为橙色的部分代表的就是“钦定有 $i$ 个属性”的元素数目。

标为蓝色的叫做容斥系数，代表了刚刚过程中加上还是去掉的动作，一般来说容斥系数的指数就是“钦定”的属性的数目减去一。

变型

一般来说，容斥原理适用于以下的两种情况：

1. 计数满足多个条件其一的对象数目。把满足一个条件的对象组成一个集合，然后直接套用容斥即可。
2. 计数满足所有条件的对象数目。这个时候把限制取反，那么计数的对象转变为求所有满足至少一条限制的对象数目，这个可以用容斥做，再用全集的大小减去这个答案。

经验：做容斥题的时候，想办法让“限制的数目”变成一个常量，方法包括但不限于加入大小为零的对象、不可能满足的条件等。

而对于后面的一种情况，式子可以写作：

$$\begin{array}{rl}\left|\bigcap _{i=1}^n{S}_i\right|& =\left|U\right|-\left|\bigcup _{i=1}^n\overline{S_i}\right|\\ & =|U|-\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\sum _{T\subseteq [1,n],|T|=i}\left|\bigcap _{j\in T}\overline{S_j}\right|\\ & =|U|+\sum _{i=1}^n(-1{)}^i\sum _{T\subseteq [1,n],|T|=i}\left|\bigcap _{j\in T}\overline{S_j}\right|\end{array}$$

所以，这种情况下需要做的是：把容斥系数的指数加一；限制取反；最终加上全集的大小。

容斥恒等式

事实上，容斥原理的表达式还蕴含了一个信息：每个元素对于右侧式子的贡献为 $1$，对左侧式子的贡献也为 $1$ .

换句话说，如果每个元素的权值不一样的情况下，对于任意的函数 $f(x)$ 而言，也有如下形式的容斥原理：

$$\sum _x([x\in \bigcup _{i=1}^n{S}_i]f(x))=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}\sum _{T\subseteq [1,n],|T|=i}(\sum _x[x\in \bigcap _{j\in T}{S}_j]f(x))$$

呃这么写似乎有点反人类

用另一种方法来写的话，我们考虑到表达式右侧的部分，相当于在 $x$ 的限制集合中，挑选出一些，并根据挑选出的多少决定 $x$ 向总和中贡献 $1$ 还是 $-1$ 次，也就是下面的式子：

$$1=\sum _{T\subseteq [1,n],T\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{|T|-1}$$

很自然的，我们想把 $T=\mathrm{\varnothing }$ 的情况包括进去。

$$0=\sum _{T\subseteq [1,n]}(-1{)}^{|T|-1}$$

但是这里我们默认了 $n\ge 1$，去掉这个条件之后，就有了

$$[S=\mathrm{\varnothing }]=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|}$$

这个恒等式就是容斥原理的本质了，它对于任意的集合 $S$ 都成立。

证明的话，用二项式系数就可以了。

§ 0.1 子集反演

所以，不知道是出于什么原因，你有了一个关于集合的函数 $g(A)$ 和一个集合 $S$，我们定义函数 $f(A)$ 如下：

$$f(A)=\sum _{B\subseteq A}g(B)$$

现在你已知任意 $T\subseteq S$ 的 $f(T)$，能否求得 $g(S)$ 呢？

这是一个标准的反演问题，笔者会在不久后写一篇专门的博文。但是这里先用容斥原理解决。

考虑用容斥解决，我们定义一堆新的集合 $\{S_x^{\prime }\}$，一个元素就是一个 $g(S_x^{\prime })$，要求的是 $\{S_x^{\prime }\}$中满足【 $S$ 中每一个元素被选定到其中】的 $S_k^{\prime }$ 所对应的 $g(S^{\prime })$ .

而这是限制的交集，每一个限制形如 “$S$ 中的某个元素 $x$ 被选定到 $S_k^{\prime }$ 中”。

用容斥解决的话先找出全集的贡献：【对于所有 $T\subseteq S$，$g(T)$ 的和】。然后再把限制取反：【钦定某几个元素不选定到 $S^{\prime }$ 中】。最后容斥系数就是钦定了几个：$(-1{)}^{|A|}$ .

所以我们轻松地得到了式子：

$$g(S)=V+\sum _{i=1}^n(-1{)}^i\sum _{T\subseteq [1,n],|T|=i}F(T)$$

$V$ 表示全集的贡献，而不是全集本身。

其中 $F(T)$ 表示【 $T$ 中的元素全都不出现在其中】的所有 $S_k$ 的 $g$ 函数值之和，而这其实就是 $f(S-T)$ . 然后交换一下求和顺序，可以得到：

$$g(S)=V+\sum _{T\subseteq S,T\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{|T|}f(S-T)$$

观察到 $V$ 这一项可以和后面的东西合并（$T=\mathrm{\varnothing }$）。最后换元，整个式子化简成：

$$g(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S|-|T|}f(T)$$

加上条件：

$$f(S)=\sum _{T\subseteq S}g(T)\iff g(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S|-|T|}f(T)$$

这个就叫子集反演。

然后我们令 $S={\complement }_{U}S,T={\complement }_{U}T$

$$f({\complement }_{U}S)=\sum _{{\complement }_{U}T\subseteq {\complement }_{U}S}g({\complement }_{U}T)\iff g({\complement }_{U}S)=\sum _{{\complement }_{U}T\subseteq {\complement }_{U}S}(-1{)}^{|{\complement }_{U}S|-|{\complement }_{U}T|}f({\complement }_{U}T)$$

做一些小调整：

$$f({\complement }_{U}S)=\sum _{T\supseteq S}g({\complement }_{U}T)\iff g({\complement }_{U}S)=\sum _{T\supseteq S}(-1{)}^{|T|-|S|}f({\complement }_{U}T)$$

然后再定义两个新函数：

$$\begin{gathered} F(A)=f({\complement }_{U}A) \\ G(A)=g({\complement }_{U}A) \end{gathered}$$

带入刚刚的式子：

$$F(S)=\sum _{T\supseteq S}G(T)\iff G(S)=\sum _{T\supseteq S}(-1{)}^{|T|-|S|}G(T)$$

这就是子集反演的补集形式。能不能叫超集反演

§ 0.2 二项式反演

把刚刚子集反演的 $g(A)$ 定义为 $|A|$，就得到了二项式反演。

§ 0.3 Min-Max容斥

基本形式

现在你有一些数字，你需要求出它们的最大值，但是你不能比较两个元素的大小，只能查询任意一个集合里面的最小值。

这该怎么做呢？

我们把一个数字 $x$ 换成一个集合 $\{1,2,\cdots ,x\}$，那么一堆数字的 $max$ 可以看作一堆集合的并集；一堆数字的 $min$ 可以看做一堆集合的交集。

诶，这个就可以容斥了。

$$\underset{x\in S}{max}x=\sum _{T\subseteq S,|T|>0}(-1{)}^{|T|-1}\underset{y\in T}{min}y$$

当然，我们把 $x$ 映射到的集合改成 $\{x+1,x+2,\cdots ,\underset{k\in S}{max}k\}$，就可以得到利用 $max$ 计算 $min$ 的情况了，如下（记 $\underset{k\in S}{max}k=M$）：

$$M-\underset{x\in S}{min}x=\sum _{T\subseteq S,|T|>0}(-1{)}^{|T|-1}(M-\underset{y\in T}{max}y)$$

化简：

$$M-\underset{x\in S}{min}x=\sum _{T\subseteq S,|T|>0}(-1{)}^{|T|-1}M-\sum _{T\subseteq S,|T|>0}(-1{)}^{|T|-1}\underset{y\in T}{max}y$$

根据容斥恒等式，有：

$$\underset{x\in S}{min}x=\sum _{T\subseteq S,|T|>0}(-1{)}^{|T|-1}\underset{y\in T}{max}y$$

这个和上面那个式子就叫做 Min-Max 容斥。

虽然没人会用这种方式求最大值，但是这个东西是可以推广到期望中的！

在期望方面的应用

假如我们想要计算一个序列最大值的期望：

$$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$