最大流和最小割的关系

他们相等

这不废话吗

不过这篇文章主要讨论一些细节问题。

Part 0 残量网络？

区分两个概念：边、流函数。

前者是原图的一部分，信息包括流量、容量和端点，在数据结构中对应的变量是 flw，cap，u，v，并且要注意反向边不是原图的一部分，他们的变量不算在内

后者是残量网络的一部分，残量网络中的一条边就是一个流函数，信息包括端点、残量，其中残量在数据结构中对应的表达式是 cap-flw，所有的反向边都属于残量网络，必须算在内。

数据结构中存储的“反向边”不能看做原图中存在的边（因为它的容量为零），它们只是为了更方便的描述流函数添加上的。正向边与反向边应当看做一条无向边的两个组成部分，而不是两条独立的边。

反向边为什么会和正向边有着完全一样的变量？这是为了实现方便做出的妥协，因为我们的数据结构中实际上把原图和残量网络存在了一起，所以残量网络的信息只能通过原图信息进行运算得来。

感性理解：【原图】=【所有的【正向边+反向边二元组】组成的集合+点集】；【残量网络】=【【所有正向边】+【所有反向边】+点集】

一定要区分【\((u,v)\) 这条边的反向边】和【原图中存在的边 \((v,u)\)】。

反向边中的负流不能看做流了一个“负的流”，因为这样就和正向边里面的流叠加起来，变成了二倍的流，这是万万不可的。所以反向边中的“负流”应当看做“正向边中的流”的另一种体现形式。

然后，我们在算法中频繁提及的“增广路”，指的是残量网络上【由残量大于零的边组成的一条路径】，而不是原图上【由未流满的边组成的一条路径】，因为后者不能用来退流。

Part 1 证明

尝试证明最大流等于最小割。

首先，假如图中存在一个流（不一定最大）因为最小割把整张图分成了两个部分，所以割边由【源点所在子图】流向【汇点所在子图】的净流量之和就一定等于这个流。

常见误区：反向边的流量不是负的吗？为什么不会相加等于零呢？
解决方法：定义

所以我们的思路很简单，找到最小割，然后证明这里面的所有边一定被最大流流满。

把最小割中和源点联通的子图叫做 \(S\)，和汇点联通的子图叫做 \(T\)，那么因为残量网络中不存在增广路径，所以所有由 \(S\) 连向 \(T\) 的边一定是满流，所有由 \(T\) 连向 \(S\) 的边一定是零流或者负流。得证。

Part 2 必须边与可行边

定义可行边为一条在某个最小割方案中出现过的边。（所有最小割的并集的元素）

定义必须边为一条在所有最小割方案中都必须出现的边。（所有最小割的交集的元素）

一个性质：简单推导可以知道，如果把一条可行边权值减少，那么最小割也会相应减少，如果把一条必须边权值增大，最小割权值也会相应增大。

首先，根据刚刚的证明，我们可以知道最小割中的每一条边在原图中一定被流满，也就是说残量网络中仅存在和原边反向的边，而不存在与它同向的边。

然后我们发现，如果有一条增广路，可以从这条有向边在原图上的起点走向终点，那么这一条边一定不会是可行边。

因为这条边权值减少（变为零）后，最小割的大小不会变小相同的幅度。

所以我们把残量网络强联通缩点，一条缩点后的DAG边一定是一条可行边，反之亦然。

必须边呢？简单考虑一下，如果要保证一条边没有“替代方案”，那么他一定直接连接了 \(s\) 和 \(t\) 所在的强连通分量。

Part 3 最小割的最小边数

把原图中满流边的容量全部设置为 \(1\)，其余的设置成 \(+\infty\)，然后跑最小割。

怎么证明？很简单啊，因为满流边组成的数量最小割一定是最小割。

这又怎么证明呢？考虑反证，假如说有一条不是可行边但是满流的边出现在了方案中，那么这条边的前后一定有另外的几条边被割掉，保证了它不会被流到。而这显然和割的数量最小性矛盾。