Codeforces Round 986 (Div. 2)
AB
没什么好说的。
C
把我卡了。dp非常明显，最开始我想的是单向做，\(f[i][0/1]\)表示前\(i\)块蛋糕已经分出去了，01表示Alice是否拿过了，此时分给了几个人。
尝试写写转移就知道为什么寄了。状态不够，没法表示答案。就算转移到了最后也没法得出我们需要的答案。可以发现，这个dp不好做的原因就是alice取蛋糕的部分并不确定。
赛时的时候没有转换思路，非常笃定这是dp。但是其实做到这里dp就已经被叉了。这个dp方程的形式已经没有优化的机会了。如果要写出正确的暴力dp方程，需要3维，其中光空间就\(n*m\)，而这个状态和转移不满足任何优化的形式。就算满足了，写个2C用斜率优化之类的也挺离谱的。。
事实上这是一个贪心。其实很容易发现，我们的操作里面并不存在“舍弃一块蛋糕”这种操作。假如不考虑alice，那这个题目就是扫一遍就能出答案。考虑一下答案的结构，其实一定是左边一段给客人，右边一段给客人，中间alice拿一段。给客人的直接贪心是有固定答案的，所以其实直接枚举就可以了。思考一下可以发现单调性非常明显，固定一个端点二分或者倍增另一个端点就结束了。
其实会被卡，很大一部分是因为开始看错题了。意外是alice必须取最后一段。那就是一个挺裸的dp？好吧，贪心。我居然写了二分？？无敌了。
有点抽象的。这种错误。
D
这题是真恶心。
很明显，只能顺序取，那就直接顺序枚举每个点，然后看每个人是不是有价值更高的卡牌在之前能够得到。这个玩意，树状数组就能够做到，单点修改然后区间查询嘛。但是要求方案。值域树状数组不是那么好搞。迫不得已还写了线段树。。
一眼秒了，还让我写上百行。无敌了。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll a=0,b=1;char c=getchar();
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')b=-1;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())a=a*10+c-'0';
return a*b;
}
int n,a[200001],b[200001],c[2000001];
int f[200001][2];
inline int ls(int x){
return (x<<1);
}
inline int rs(int x){
return (x<<1)|1;
}
struct Seg_Tree
{
int val[8000001],From[8000001];
inline void push_up(int p)
{
if(val[ls(p)]==0&&val[rs(p)]==0)
{
val[p]=0;
From[p]=0;
return ;
}
if(val[ls(p)]>=val[rs(p)])
{
val[p]=val[ls(p)];
From[p]=From[ls(p)];
}
else
{
val[p]=val[rs(p)];
From[p]=From[rs(p)];
}
}
void build(int p,int l,int r)
{
if(l==r)
{
val[p]=0;From[p]=0;
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
push_up(p);
}
void change(int p,int l,int r,int tar,int x,int Fa)
{
if(l==r&&l==tar)
{
val[p]=x;
From[p]=Fa;
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(tar<=mid)change(ls(p),l,mid,tar,x,Fa);
if(tar>mid)change(rs(p),mid+1,r,tar,x,Fa);
push_up(p);
}
int query(int p,int l,int r,int tl,int tr)
{
if(tl<=l&&r<=tr)
{
return From[p];
}
int mid=l+r>>1;
int ans=0;
if(tl<=mid)ans=max(ans,query(ls(p),l,mid,tl,tr));
if(tr>mid)ans=max(ans,query(rs(p),mid+1,r,tl,tr));
return ans;
}
}A,B,C;
int main()
{
int T=read();
while(T--)
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=f[i][1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
c[i]=read();
f[1][0]=1;
A.build(1,1,n);
B.build(1,1,n);
C.build(1,1,n);
A.change(1,1,n,a[1],1,1);
B.change(1,1,n,b[1],1,1);
C.change(1,1,n,c[1],1,1);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int a1=A.query(1,1,n,a[i],n);
int b1=B.query(1,1,n,b[i],n);
int c1=C.query(1,1,n,c[i],n);
if(a1!=0)f[i][0]=1,f[i][1]=a1;
else
if(b1!=0)f[i][0]=1,f[i][1]=b1;
else
if(c1!=0)f[i][0]=1,f[i][1]=c1;
if(f[i][0])
A.change(1,1,n,a[i],1,i),
B.change(1,1,n,b[i],1,i),
C.change(1,1,n,c[i],1,i);
}
// cout<<'4'<<endl;
if(!f[n][0])cout<<"No"<<'\n';
else
{
cout<<"Yes\n";
vector<pair<char,int>> ans;
int now=n;
while(now!=1)
{
int back=f[now][1];
if(a[back]>a[now])
ans.push_back({'q',now});
else
if(b[back]>b[now])
ans.push_back({'k',now});
else
ans.push_back({'j',now});
now=back;
}
cout<<ans.size()<<'\n';
for(int i=ans.size()-1;i>=0;i--)
{
cout<<ans[i].first<<' '<<ans[i].second<<'\n';
}
}
}
}
E
有点意思的题目。
其实先简单写写表达式，就能够发现是一个有后效性的转移方程。那其实说这是一个线性方程组更适合。
但是这个线性方程组的相关参数非常固定，全是\(\frac 1 2\)，那就很可能不需要用高斯消元了。
需要先考虑一下两个人的行动策略。非常明显，alice一定是向根节点走的，而阻止她的人一定是让她往最近的叶子节点走的。
所以可以进行一个类似树剖的过程，把树剖成一个个链，剖的法则就是距离子树里面叶子最近的点剖在一条链上。
那么，如果一次行动的起始点在这个链上，那么，这次行动的结果很固定，要么走到链的头部，来到另一条链或者是终点，要么是被推到叶子节点。
所以我们可以把问题简化为在一根根不同长度的链上行动，然后把结果乘起来。
前面分析已经能得到了，这个方程是一个系数固定的线性方程组。会有变化的只有这个线性方程组的项数。可以考虑项数会带来哪些变化。
手玩了一下不同项的方程，其实就能得到通解了。(虽然如果做的熟练的话，这个玩意看到的第一眼就知道是有一个和项数相关的通解的表示的)
对于一个在长度为\(d\)的链上的从上往下数第\(i\)个位置，从这里走到链首的概率是\(1-\frac {i-1}d\)
如果这题改改，p不是\(1/2\)，其实也能做，也是推到一下能得到通解，需要高斯消元解方程的是对于每个点\(p\)都不一样。
然后这题就没有了。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
char c=getchar();ll a=0,b=1;
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')b=-1;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())a=a*10+c-'0';
return a*b;
}
const ll Mod=998244353;
ll n;
struct edge
{
ll next,to;
}e[400001];
ll head[400001],tot,leaf[200001],down[200001][2],dep[200001];
inline void add(ll i,ll j)
{
e[++tot].next=head[i];
e[tot].to=j;
head[i]=tot;
}
ll ksm(ll x,ll a)
{
if(a==0)return 1;
if(a==1)return x;
if(a==2)return x*x;
if(a%2==0)
{
ll ans=ksm(x,a/2)%Mod;
ans=ans*ans%Mod;
return ans;
}
else
{
ll ans=ksm(x,a/2)%Mod;
ans=ans*ans%Mod*x%Mod;
return ans;
}
}
ll ans[2000001];
pair<ll,ll> dfs(ll x,ll fa)
{
dep[x]=dep[fa]+1;
ll cnt=0;
down[x][0]=0x3f3f3f3f;
for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].next)
{
ll u=e[i].to;
if(u==fa)continue;
cnt++;pair<ll,ll> Ned=dfs(u,x);
if(down[x][0]>Ned.first+1)
down[x][0]=Ned.first+1,down[x][1]=Ned.second;
}
if(cnt==0)leaf[x]=1,down[x][0]=0,down[x][1]=x;
else leaf[x]=0;
return {down[x][0],down[x][1]};
}
void dfs_ans(ll x,ll fa,ll now,ll up)
{
// if(leaf[x])ans[x]=0;
ll len=dep[down[x][1]]-dep[up];
ll now_place=dep[x]-dep[up]+1;
ans[x]=ans[now]*(len-now_place+1)%Mod*ksm(len,Mod-2)%Mod;
for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].next)
{
ll u=e[i].to;
if(u==fa)continue;
if(down[u][1]==down[x][1])
dfs_ans(u,x,now,up);
else
dfs_ans(u,x,x,x);
}
}
int main()
{
ll T=read();
while(T--)
{
n=read();
for(ll i=0;i<=tot;i++)head[i]=0;tot=0;
for(ll i=1;i<n;i++)
{
ll x=read(),y=read();
add(x,y);add(y,x);
}
dfs(1,0);
ans[1]=1;
dfs_ans(1,0,1,1);
// cout<<1<<endl;
for(ll i=1;i<=n;i++)
{
cout<<ans[i]%Mod<<' ';
}
cout<<'\n';
}
return 0;
}
