Codeforces Round 942 (Div. 2) D2

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题目要求用数学一点的形式表达出来就是统计有多少a，b满足

1.\(1\leq a\leq n ,1\leq b\leq m\)
2.\(\exists k \in N^*\) ,使得\(b \times gcd(a,b)=k\times (a+ b)\)
首先，把a和b改写，使得\(gcd(a,b)\)消失
\(a=q*d,b=p*d\)，则，\(gcd(a,b)=d\)
条件二变为：\(p\times d^2= k\times (q\times d +q\times d)\)
转化为判断，是否存在正整数\(k\)，使得\(p\times d= k\times (q +p)\)成立，也就是\(\frac {p\times d} {q+p}= k\)

也就是我们要对每个\(gcd(q,p)=1\)的数对，验证是否存在这样的\(q\times d\)，使得\(\frac {p\times d} {q+p}\)为一个整数。
呃，应该说是对每个\(gcd(q,p)=1\)的数对，统计有多少这样的\(q\times d\)，使得\(\frac {p\times d} {q+p}\)为一个整数。
但是这还是不好统计。但是有一个很明显的地方，\(gcd(q,p)=1\)，那么，\(gcd(q+p,p)\)等于多少呢？

等于1。辗转相除法可以证明。
所以我们需要统计的其实不是\(q\times d\)，而是\(d\)。

统计这个的个数，其实就是枚举所有\(gcd(q,p)=1\)的数对，然后用一个算式直接统计对应的d有多少个。这样的统计是不重复的。
枚举所有的q，p看似不可能，是\(O(nm)\)的，但是从上面的式子中，我们可以发现，我们要找的是\(\frac {d} {q+p}\) ， $p\times d \leq n $ ，而刚刚的式子表示，\(d\geq q+p\)，我们这里取极端的情况，\(p=1\)，则要求变为\(d>q\) ，结合上面的，$ p \times d \leq n $ 可以得到， $ q^2\leq n $，对p也是同理。
所以我们只需要枚举所有\(1\leq q \leq \sqrt n，和1\leq p \leq \sqrt m\)，然后统计的部分可以用算式，也可以用循环，用循环的复杂度总体就是\(O({nm}^{\frac{1}{2}}\times ln (nm))\)，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
	int a=0,b=1;char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')b=-1;
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())a=a*10+c-'0';
	return a*b;
}
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
	int T=read();
	while(T--)
	{
		int ans=0;
		int n=read(),m=read();
		for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
		{
			for(int j=1;j<=sqrt(m);j++)
			{
				if(gcd(i,j)!=1)continue;
				for(int d=i+j;i*d<=n&&j*d<=m;d+=i+j)ans++;
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

没写出来的原因

1.gcd没有被我划开。这题的D1并不需要把gcd写开，但是把gcd写开绝对是对问题的简化。
2.\(gcd(p,q)=1,则gcd(q+p,p)=1\)这一点没发现。这是很明显，也很重要的一个\(gcd\)结论，要记。
3.推导后\(p\)和\(q\)的隐藏条件。

其实还有一点，就是这种题目我没有什么经验，导致我写题的时候启发性非常弱。写的时候是完全没有思路的。
只能在那边化式子兜兜转转然后做不出来。