Codeforces Round 911 (Div. 2) vp D题

前面三题，就B题一道900的题目让我wa了两发，而且有点难看出来
主要是想不到。。不知道该怎么像。
应该算是题目理解不清晰吧，很麻烦。。这个原因可以说是没有一个完整的思考路径，我能够直接想到答案接近的处理方法，但是细节上没有注意。在考虑问题的时候可能。。需要慢一些，太快了，容易漏下点东西，然后就会一直wa。

A和C都是水题（其实E也差不多，只要会tarjan的人都能写）

这个D题，很值得讨论一下，是一个复盘的很好的对象。

我先把我考试的时候的思路写下来

首先，我们可以知道，对于a数组里面的两个数字\(a[i],a[j]\ (i\leq j)\)，对答案的贡献是\(gcd(a[i],a[j])*(n-j)\)，这是可以计算得到的。
但是，不管怎么样，只要我们试图去计算两个数字之间的\(gcd\)，这个代码就必然超时。因为，很明显，\(gcd(a[i],a[j])\)和\(gcd(a[j],a[k])\)是没有任何明显的数值上的关系的，也就是，在这个层面上，我们尝试去计算两个数字之间的gcd并且统计，是绝对打不破\(O(n^2)\)复杂度的瓶颈的。而\(n=1e5\)，这是不能接受的。
所以要转换思路，假如\(gcd(a[i],a[j])\)换成其他计算，这题可能就假了，gcd是有它本身的特殊性的，我们其实是能从上面的分析得到的(不然就是假题)。
所以我们要做的就是利用gcd的特殊性来进行统计答案。gcd是最大公约数，这是他的定义。我们可以发现，最大公约数的大小和参与计算的数值是有直接关系的，而\(a[i]\leq 1e5\)，这就能说明很多了。
然后我考试的时候就开始脑抽了。。我算了算\(1e5\)范围的质数（？我在干什么），发现只有少于1e4个，然后觉得可做，然后想了想发现gcd和质数没什么关系，然后就觉得这题做不了了。。。
其实这题目和质数就是没有任何关系的。有关系的是每一个数字的因数。我们可以先对a数组排序，然后从小到大枚举\(a[i]\)，然后再枚举\(a[i]\)的因数，对于它的每一个因数，统计前面有多少个数字出现了这个因数，给答案先加上。
这很明显的是有重复的，但是我们在\(O(n\sqrt{a[i]})\)的复杂度内统计到了一个类似答案的东西！
然后后面的事情其实就是减去重复的部分了，重复的部分就是类似一个数字有因子2，4，8，而另一个数字也有，那这三个因数就都会被统计一次。我们要做的，就是枚举每一个因数，然后枚举它的每一个倍数，让小的因数的数量减去属于它的大的因数的数量，因为它不是gcd，它只是一个公约数，并不是最大的。

这个容斥的过程是很难想的。
其实也还好。
就是，sum[i]先表示有几个数字以i作为公约数，然后对于sum[2]，很明显，sum[4]肯定是在sum[2]里面被统计过的，sum[6]也是，sum[8]也是，sum........，那我们用sum[2]-=sum[4]+sum[6]+sum[8]，一直减到最后，剩下的sum[2]的内容，不就是以2作为最大公约数的数字数量了吗？因为如果两个数字没有2这个公约数，它开始就不在，如果他们有其他的更大的公约数，那它就是2的倍数，刚刚的过程就已经把它剪掉了。
剩下的，不就是答案了？

这个过程是\(O(a[i]\sqrt{a[i]})\)的，所以这个算法的总体的时间复杂度就是\(O((n+a[i])\sqrt{a[i]})\)

可以通过。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read() {
    char c=getchar();ll a=0,b=1;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')b=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())a=a*10+c-48;return a*b;
}
ll n,a[200101];
ll sum[200101],cnt[200101];//sum[i]表示有几个数字以i作为公约数，后面处理之后就变成了作为最大公约数了
vector<ll> fact[100201];
int main()
{
//    freopen(".in","r",stdin);
//    freopen(".out","w",stdout);
    for(int i=1;i<=100000;i++)
    {
        for(int j=i;j<=100000;j+=i)
        {
            fact[j].push_back(i);//以j的因子有那些
        }
    }
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i]=read();
        }
        sort(a+1,a+1+n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int len=fact[a[i]].size();
            for(int j=0;j<len;j++)
            {
                sum[fact[a[i]][j]]+=cnt[fact[a[i]][j]]*(n-i);
                cnt[fact[a[i]][j]]++;//前面有几个数字
            }
        }
        ll ans=0;
        for(int i=a[n];i>=1;i--)
        {
            for(int j=i+i;j<=100000;j+=i)
            {
                sum[i]-=sum[j];
            }
            ans+=sum[i]*i;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

为什么我会想不到这个过程？
（不得不承认我都不知道为什么我会tm想到质数。。）
这可以算是gcd的偏难的题目了，把dp和gcd结合了。
这个先统计，然后再减去重复的想法，本身就是比较难想的。它是很缺少启发性的，因为在你统计的时候，你要怎么才能知道你统计的东西是能够这种去重得到的呢？
呃，对于这一题其实还好，因为你知道了所有的因数之后，gcd其实是一个类似他们的导数的东西，它只是相邻两个之间的增量吧。
还是有点可能能够直接看出来的。
但是对于其他这种题呢？
那估计就是难题了。这个时候我感觉刷题量的优势就体现出来了。刷的题多了，其实就知道了这样去处理gcd是可以的。或者说，其实就知道了gcd的处理方式比较唯一或者说是不多。那就很快了。因为除了这个办法没有其他办法。

对于这题的复盘，主要就是记录一下这个先统计再去重的思路可以用再这种题目上，这样以后遇到这种题目就能写出来了。还有因数的处理吧。

还是要多写，多看，多想啊。