逆元基本知识
逆元的用处,ans = (a/b) % mod;
但是ans != (a%mod) / (b %mod)
因此我们 可以把ans 转化为 ans = a * inv(b,mod) % mod
inv(b,mod) 的含义为 b 对于 mod 的逆元 令 inv(b,mod) = x;
转化为同余方程就是 bx ≡ 1(% mod)
当 b 与 mod 互质的时候有两种方法求 inv(b,mod)
单个元素逆元
①扩展欧几里得
解不定方程 bx + mody = 1 其中 x的值即为 inv(b,mod)
学习一个 http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 } 9 int r=exgcd(b,a%b,x,y); 10 int t=x; 11 x=y; 12 y=t-a/b*y; 13 return r; 14 }
②费马小定理 百度百科 费马小定理
所以有inv(b,mod) = pow(b,p-2)
下面是一个不常用的玩意因为要保证b|a
但是当遇到b与mod不互质的情况我们有 ans = a % (mod*b) /b
转载自 :AC-dreamer逆元详解
1-n的逆元
设 t1 = mod / i ; t2 = mod % i;
所以我们有 t1 * i + t2 = mod
即 (t1 * i + t2) ≡ 0(% mod)
移项 - t1 * i ≡ t2(% mod)
同除 i*t2 有 -t1 * inv[t2] ≡ inv[i] & mod
代入有 inv[i] = kmod - mod/i * inv[mod % i] % mod ; k 为正整数 且inv[i] > 0
为了保证正负 不妨直接写 inv[i] = (mod - mod/i) * inv[mod % i] % mod ;
应用:组合数逆元
预处理阶乘以及阶乘逆元 转自 : http://www.cnblogs.com/linyujun/p/5199684.html
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 const int N = 200000 + 5; 2 const int MOD = (int)1e9 + 7; 3 int F[N], Finv[N], inv[N];//F是阶乘,Finv是逆元的阶乘 4 void init(){ 5 inv[1] = 1; 6 for(int i = 2; i < N; i ++){ 7 inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD; 8 } 9 F[0] = Finv[0] = 1; 10 for(int i = 1; i < N; i ++){ 11 F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD; 12 Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD; 13 } 14 }
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int C(int n, int m){ 2 if(m < 0 || m > n) return 0; 3 return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD; 4 }
扩展:卢卡斯定理
C(n, m) % p = C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 LL Lucas(LL n, LL m, int p){ 2 return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * C(n%p, m%p, p) % p : 1; 3 }