暑假集训Day 10 小烈送菜

题目大意

小烈一下碰碰车就被乐满地的工作人员抓住了。作为扰乱秩序的惩罚，小烈必须去乐满地里的“漓江村”饭店端盘子。

服务员的工作很繁忙。他们要上菜，同时要使顾客们尽量高兴。一位服务生为n个顾客上菜。这n个顾客坐成一排，小烈从一端的厨房中端出n盘菜（不要问我为什么小烈能一下子端住2500 盘菜，他就是能）为n个顾客各上一道相同的菜。

显然，小烈需要走一个来回，如图：

本来，小烈可以按1,2,3,...n的顺序一次给每个顾客上菜，但是，聪明的小烈通过观察发现，每个顾客都有一个开心值 H，离厨房最近的为H1 ，然后依次为\(H_2\),\(H_3\)...\(H_n\) 。若小烈给第j位顾客上菜前刚刚为第i位顾客上菜，则第j位就会高兴，产生高兴指数\(W_j =H_i*H_j\)。这样，如果小烈按一定的方式调整上菜顺序，可以得到更高的高兴指数。现在小烈想知道用某一方法可达到的n位顾客高兴指数之和的最大值S。因为顾客越高兴，给小烈的小费越多。第一位上菜的顾客不产生高兴值。

输入格式

第一行一个整数n，顾客的数目。
第二行n个数，第i个数表示第i位顾客的开心值。各个数字用空格隔开。

输出格式

一个数s，为高兴指数的最大值。

样例

样例输入

3
7 1 9

样例输出

72

算法分析

• 这个题第一眼看上去好像没啥思路 虽然能一眼裸爆出是dp 但是状态和转移限制异常的多
• 小烈要去一个来回 去的时候获得的权值回来的时候就不能获得了 那如果我们将一个小烈劈开（还是让他分身吧） 现在我们有两个小烈 一起向前走 f[i][j]表示第一个小烈走到i 第二个小烈走到j而且此时前max(i,j)个客人都已经送好菜了，所能获得的最大值
• 如果当前状态是i 如何转移到i+1呢？ 因为i+1必须要由小烈a或者小烈b其中的一个去送 所以可以由多个状态转移过来

f[i+1][j] = max(f[i][j],f[i+1][j] + a[i+1]*a[i])//由i位置转移过来
f[i][i+1] = max(f[i][i+1],f[i][j] + a[i+1]*a[j])//由j位置转移过来

• 但是这样的动态转移方程显然很ex，毕竟一堆限制条件 再来仔细品 因为要保证前max(i,j)的位置都要送到 所以f[i][j]和f[j][i]是等效的 毕竟谁在前面都一样
• 所以我们的状态转移方程就可以表示为

f[i+1][j] = max(f[i][j],f[i+1][j] + a[i+1]*a[i])
f[i+1][i] = max(f[i][i+1],f[i][j] + a[i+1]*a[j])

代码展示

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2500+10;
int a[maxn],f[maxn][maxn];

int main(){
	int n,ans = 0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;++i)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		for(int j = 0;j < i;++j){
			f[i+1][j] = max(f[i][j] + a[i+1]*a[i],f[i+1][j]);
			f[i+1][i] = max(f[i][j] + a[i+1]*a[j],f[i+1][i]);
		}
	for(int i = 0;i < n;++i)ans = max(ans,f[n][i] + a[n]*a[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}