算法设计与分析 - 主定理

主定理的作用：求解递推方程。使用主定理，就可以不用迭代法。

条件：得判断是否满足3个条件中的一个。

 

T(n)=aT(n/b)+f(n)

• n：解的规模
• a：子问题的个数
• n/b：归约后子问题的规模
• f(n)：除了子问题，要求解另外增加的计算代价，不参加递归。

 

定理：设a>=1，b>=1,为常数，f(n)为函数，T(n)为非负整数，且T(n)=aT(n/b)+f(n)，则有3个条件：

下面是主定理的三大条件：

1.f(n)=O(n^log_ba-ε)

存在ε>0，就是当n^log_ba的阶高于f(n)时，可以存在ε使得n^log_ba-ε和f(n)的阶相同。

此时取T(n)=θ(n^log_ba)。

2.f(n)=Θ(n^log_ba)

注意这时n^log_ba的阶和f(n)的阶相同，不需要ε。

此时取T(n)=Θ(n^log_balogn)。

3.f(n)=Ω(n^log_ba+ε)

首先得存在ε>0，就是当n^log_ba的阶低于f(n)时，可以存在ε使得n^log_ba+ε和f(n)的阶相同。

第二个要满足的条件是：af(n/b)<=cf(n), c<1。

此时取T(n)=Θ(f(n))。

 

来几道例题：

例一：求解递推方程T(n)=9T(n/3)+n。

a=9,b=3,f(n)=n。

先判断n^log_ba=n^log₃9=n²，阶数高于n，存在f(n)=O(n^log_ba-ε)=O(n^2-1)，ε=1。

满足主定理的条件1，所以T(n)=Θ(n^log_ba)=Θ(n²)。

 

例二：求解递推方程T(n)=T(2n/3)+1。

a=1,b=3/2,f(n)=1。

先判断n^log_ba=n^log_3/21=n⁰=1，和f(n)同阶。

满足主定理的条件2，所以T(n)=Θ(n^log_balogn)=Θ(logn)。

 

例三：求解递推方程T(n)=3T(n/4)+nlogn。

a=3,b=4,f(n)=nlogn。

先判断n^log_ba=n^log₄3≈n^0.793，阶数低于nlogn，存在f(n)=Ω(n^0.793+ε)，给ε取0.2。

还得判断是否满足不等式：af(n/b)<=cf(n)，代入f(n)=nlogn，

3n/4log(n/4)和cnlog(n)，只要c>=3/4即可满足<=的关系。

即满足主定理的条件3，所以T(n)=Θ(f(n))=Θ(nlogn)。

 

总结一下，上面3例分别是主定理的3种满足条件的递推方程。实际上一直在判断n^log_ba和f(n)的阶，谁高，就取谁。同阶取Θ(n^log_balogn)。

还有不能使用主定理的例子，这里就不列举了。这3个例子的来源是   算法设计与分析 屈婉玲教授  的课上举的例子。