如何找到两个升序数组归并后的升序数组的中位数
一、什么是中位数：
当归并后的大数组的长度是奇数，中位数就是位于正中的元素；
当归并后的大数组的长度是偶数，中位数就是位于正中的两个元素的平均值；
二、普通做法：
直接把两个数组进行归并操作，根据归并后数组长度求中位数；
时间复杂度和空间复杂度都是 O(m+n)，m、n分别是两个数组长度；
三、一个升序数组的中位数特点：
1、中位数把一个升序数组分成了长度相等的两部分，其中左半部分的最大值永远小于右半部分的最小值。
如上图所示，对于偶数长度的数组，可以根据中位数分成长度相等的两部分，左半部分最大元素（6），永远小于等于右半部分的最小元素（7）。
对于奇数长度的数组，同样可以根据中位数分成两部分：
如上图所示，对于奇数长度的数组，如果把中位数本身归入左半部分，则左半边长度 = 右半边长度+1。
左半部分最大元素（5），永远小于等于右半部分的最小元素（6）。
2、大数组的左右两部分，分别来源于两个初始数组A和B的左右部分。
什么意思呢？大数组被中位数等分的左右两部分，每一部分根据来源又可以再划分成两部分，其中一部分来自数组A的元素，另一部分来自数组B的元素：
如图所示，原始数组A和B，各自分成绿色和橙色两部分。其中数值较小的绿色元素组成了大数组的左半部分，数值较大的橙色元素组成了大数组的右半部分。
最重要的是，绿色元素和橙色元素的数量是相等的（偶数情况），而且最大的绿色元素小于等于最小的橙色元素。
四、根据特点得出的条件：
假设数组A的长度是m，绿色和橙色元素的分界点是i，数组B的长度是n，绿色和橙色元素的分界点是j，那么为了让大数组的左右两部分长度相等，则i和j需要符合如下两个条件：
i + j = （m+n+1）/2 （之所以m+n后面要再加1，是为了应对大数组长度为奇数的情况）
Max(A[i-1],B[j-1]) <= Min(A[i], B[j]) (直白的说，就是最大的绿色元素小于等于最小的橙色元素)
五、算法分析：
由于m+n的值是恒定的，所以我们只要确定一个合适的i，就可以确定j，从而找到大数组左半部分和右半部分的分界，也就找到了归并之后大数组的中位数。
如何找到合适的i值：
利用【二分查找】的思想。如何利用二分查找来确定i值呢？通过具体事例，让我们来演示一下：
第一步，就像二分查找那样，把i设在数组A的正中位置，也就是让i=3
第二步，根据i的值来确定j的值，j=(m+n+1)/2 - i =3
第三步，验证i和j，分为下面三种情况：
1.B[j−1]≤A[i] && A[i−1]≤B[j]
说明i和j左侧的元素都小于等于右侧，这一组i和j是我们想要的。
2.A[i]<B[j−1]
说明i对应的元素偏小了，i应该向右侧移动。
3.A[i−1]>B[j]
说明i-1对应的元素偏大了，i应该向左侧移动。
显然，对于图中例子，属于情况2，A[3] < B[2]，所以i应该向右移动。
第四步，在数组A的右半部分，重新确定i的位置，就像二分查找一样
第五步，同第二步，根据i的值来确定j的值，j=(m+n+1)/2 - i =1
第六步，同第三步，验证i和j
由于A[5] >= B[0]且B[1]>=A[4]，所以这一组i和j是合适的！
第七步，找出中位数
如果大数组长度是奇数，那么：
中位数 = Max(A[i-1],B[j-1]) (也就是大数组左半部分的最大值)
如果大数组长度是偶数，那么：
中位数 = （Max(A[i-1],B[j-1]) + Min（A[i], B[i]））/2 （也就是大数组左半部分的最大值和大数组右半部分的最小值取平均）
在本例中，大数组长度是奇数，所以中位数=Max(8,1) = 8
六、特殊情况：
1.数组A的长度远大于数组B
也就是m远大于n，这时候会出现什么问题呢？
当我们设定了i的初值，也就是数组A正中间的元素，再计算j的时候有可能发生数组越界。
因此，我们可以提前把数组A和B进行交换，较短的数组放在前面，i从较短的数组中取。这样做还有一个好处，由于数组A是较短数组，i的搜索次数减少了。
2.无法找到合适的i值
什么情况下会无法找到合适的i值呢？有两种情况：
数组A的长度小于数组B，并且数组A的所有元素都大于数组B。
这种情况下，无法通过二分查找寻找到符合B[j−1]≤A[i] && A[i−1]≤B[j]的i值，一直到i=0为止。
此时我们可以跳出二分查找的循环，所求的中位数是B[j-1]。（仅奇数情况）
数组A的长度小于数组B，并且数组A的所有元素都小于数组B。
这种情况下，同样无法通过二分查找寻找到符合B[j−1]≤A[i] && A[i−1]≤B[j]的i值，一直到i=（数组A长度-1）为止。
此时我们可以跳出二分查找的循环，所求的中位数是Max(A[i-1],B[j-1])。（仅奇数情况）
七、代码实现：
public static double findMedianSortedArrays(int[] arrayA, int[] arrayB) { int m = arrayA.length; int n = arrayB.length; //如果数组A的长度大于等于数组B，则交换数组 if (m > n) { int[] temp = arrayA; arrayA = arrayB; arrayB = temp; int tmp = m; m = n; n = tmp; } int start = 0; int end = m; int mid = (m + n + 1) / 2; while (start <= end) { int i = (start + end) / 2; int j = mid - i; if (i < end && arrayB[j-1] > arrayA[i]){ //i偏小了，需要右移 start = i + 1; } else if (i > start && arrayA[i-1] > arrayB[j]) { //i偏大了，需要左移 end = i - 1; } else { //i刚好合适，或i已达到数组边界 int maxLeft; if (i == 0) { maxLeft = arrayB[j-1]; } else if (j == 0) { maxLeft = arrayA[i-1]; } else { maxLeft = Math.max(arrayA[i-1], arrayB[j-1]); } if ( (m + n) % 2 == 1 ) { //如果大数组的长度是奇数，中位数就是左半部分的最大值 return maxLeft; } int minRight; if (i == m) { minRight = arrayB[j]; } else if (j == n) { minRight = arrayA[i]; } else { minRight = Math.min(arrayB[j], arrayA[i]); } //如果大数组的长度是偶数，取左侧最大值和右侧最小值的平均 return (maxLeft + minRight) / 2.0; } } return 0.0; } public static void main(String[] args) { int[] arrayB = new int[]{3,5,6,7,8,12,20}; int[] arrayA = new int[]{1,10,17,18}; System.out.println(findMedianSortedArrays(arrayA, arrayB)); }
八、算法时间复杂度：
由于最初的交换，数组A的长度是m、n中的最小值，而确定i的过程类似二分查找，所以时间复杂度是O(log min(m,n))。
