图形 1.2.2 矩阵运算

代数计算

线性方程

线性方程具有可加性和比例性。

解线性方程

矩阵最开始用作解线性方程组。

用矩阵的方式解线性方程组：

竖线左边是系数，竖线右边是等号右边的值，通过行列变换，分别得到x系数为1y系数为0和x系数为0y系数为1的两个方程式，即可得解。

矩阵

什么是矩阵

特殊的矩阵

注意2阶0矩阵和3阶0矩阵是不一样的，矩阵是一个列表。

矩阵加减法

行数、列数分别相同的同型矩阵才能相加减，对应位置元素相加减即可。其几何意义为对单位向量的空间变换。

矩阵的加法满足交换律和结合律。

矩阵的数乘

每一个元素对应相乘即可，其几何意义为空间的缩放。

矩阵的乘法

乘号左边矩阵的列数等于乘号右边矩阵的行数才能相乘，得到的矩阵行数与左边矩阵行数相同，列数与右边矩阵列数相同。

得到的矩阵第i行j列元素等于左边矩阵第i行的元素与右边矩阵第j列的元素对应相乘的和，因此可以理解为什么需要满足左边矩阵列数等于右边矩阵行数，只有相等才能保证对应元素数足够相乘。也可以用点积来理解矩阵乘法。

矩阵乘法的几何意义可以分为两种：一种是一个矩阵乘以一个矩阵，实际上是一种变换，例如旋转矩阵乘以缩放矩阵，得到旋转加缩放的变换效果。
另外一种是矩阵与列向量的乘法，本质上列向量也是一个矩阵，其乘法结果是一个向量。

实际使用中不一定只进行一次变换，因此会有多个矩阵相乘，进行多次变换，相乘顺序为从右到左。

当多个矩阵相乘中有一个向量参与运算，其运算顺序有两种，可以先算矩阵乘向量，也可以先算矩阵乘矩阵。

矩阵乘法满足规律如下：

大部分情况下矩阵相乘不满足交换律，几何意义上来讲可以认为变换顺序不同，得到的结果也不同，在计算机图形学中，先位移后旋转与先旋转后位移得到的结果是不一样的，因此矩阵相乘一般不满足交换律。
常见的相乘后有几何变换效果的矩阵如下：

旋转矩阵的变换例图如下：

实际上就是利用三角函数进行变换，向量xy逆时针旋转了θ度。
位移矩阵是一个3x3的矩阵，这是因为位移矩阵不是线性变换，是仿射变换。如下图所示，位移距离是tx与ty。

三维空间中的坐标变换如下图所示，其中绕z轴旋转矩阵的第三行第三列应该为1。

矩阵转置

矩阵转置就是把矩阵的行换成同序数的列。

矩阵转置的性质如下：

逆矩阵

逆矩阵的计算过程为：对于一个矩阵A，先通过几次初等行列变换，把矩阵A变成单位矩阵，然后将几个初等行列变换的矩阵按顺序相乘，就得到了矩阵A的逆矩阵。

逆矩阵的运算规律如下：

注意这些逆矩阵的运算规律都有前提条件：矩阵可逆。另外对于第三条为什么矩阵AB的逆矩阵为B的逆矩阵乘A的逆矩阵，矩阵A和B的顺序反了，这里可以使用逆矩阵定义，矩阵AB乘矩阵AB的逆等于单位矩阵E，矩阵乘法运算是从左往右的，所以等号两边都先乘矩阵A的逆，再乘矩阵B的逆，得到的就是矩阵B的逆乘矩阵A的逆。