算法作业-动态规划

第一题

目标函数为 max g1(x1)+g2(x2)+g3(x3)，其中x1、x2、x3的约束为它们均为非负整数，且它们平方的和小于等于10，所以该问题可以看作0-1背包问题，背包的最大容量是10，求目标函数的max值即求背包的最大价值。
设两个数组，F[k][y]和g[i][j]，其中F[k][y]表示在平方的和的限制为y且取前k个x时的最大值，g[i][j]表示函数gi(xi)的值，从表中可以看出g(x)函数值与选择xk以及xk的值有关。
函数的递推式为：

F[k][y] = max F[k-1][y-xk*xk] + g[k,xk]

当平方的和约束为y且选择前k个x时，其最大值为在平方和约束为 y - xk * xk 且选择前k-1个x时的最大值再加上gk(xk)。选择前k个x，那么选择的xk的值也在平方的和y的限制中，它的前一个状态就是选择k-1个x，且平方的和限制为 y - xk * xk，也即减去了第k个x，前一个状态的最大值加上第k个x自己的值，选择二者之和的最大值作为现在状态的值，得到结果。

for(int k=1; k<=3; k++)
{
    for(int y=0; y<=10; y++)
    {
        int max=0;
        //x的平方不能大于y，否则下边y-pow(x,2)会越界
        for(int x=0; x<=sqrt(y); x++)
        {           
            if(F[k-1][y-pow(x,2)]+g[k,x]>max)
            {
                max=F[k-1][y-pow(x,2)]+g[k,x];
                //标记限制为y且选择前k个x时第k个x的值
                Flag[k,y]=x;
            }
        }
    }
}

//输出
//最优值
cout<<F[3][10]<<endl;
int i=3,y=10;
while(i)
{
    cout<<"x"<<i<<"="<<Flag[i][y]<<endl;
    y-=Flag[i][y]*Flag[i][y];
    i--
}
/*
结果
x1=1，x2=2，x3=2，最大值37
*/

最后输出就是最终条件下选择的第三个x的值，然后y减去这个x的平方，i-1，F[i-1][y-pow(x,2)]就是选择的第二个x的值，第一个x的值也是如此。

第二题

首先，这个题是给定了n个整数组成的序列且分成m段，已经指出了要分成多少段。
用动态规划求解，声明dp[i][j]数组，表示i个整数分成j段的子序列和的最大值的最小值，所谓子序列和的最大值的最小值，因为将i个数分成j段，有很多种分法，对于每一种分法，这j个子序列和都有一个最大值，所以每一种分法都有一个最大值，最优的分段法就是比较每一种分法的子序列和的最大值，其中的最小值的那种分法就是最优分段法。
对于dp[i][j]数组，首先要进行初始化

for(int i=1; i<=n; i++)
{
    dp[i][1]=dp[i-1][1]+a[i];
}

这里数组a[i]保存了输入的整数，dp[i][1]就是把i个数分成一份，也即这i个数的和，因此 dp[i][1]就等于dp[i-1][1]再加上a[i]，也即前i-1个数的和加上第i个数。

递推公式：

tmp = max dp[k][j-1], dp[i][1]-dp[k][1]
dp[i][j] = min tmp

递推公式分为两部分，一是选取子序列和的最大值，二是选择这些最大值中的最小值。
选取子序列和的最大值时比较了最后一段子序列和前面j-1段子序列和的最大值，这里k为前面j-1段子序列的最后一位的下标，dp[i][j]表示i个数分成j段，这里把最后一段和前面分开，dp[k][j-1]就是前面k个数分成j-1段的情况下子序列和最大值的最小值，dp[i][1]-dp[k][1]就是整个序列的和减去前k个数的和，就等于最后一段子序列的和，选择二者之中的最大值就得到了分成j段时子序列和的最大值，最后dp[i][j]等于最大值中的最小值。

for(int i=1; i<=n; i++)
{
    //n个数，除去分一段，最少分2段，最多分n段
    //这里有限制，最多只能是m段
    for(j=2; j<=m; j++)
    {
        //INF=0x3f3f3f3f
        min=INF;
        //一共是i个数
        for(int k=1; k<=i; k++)
        {
            tmp=max(dp[k][j-1],dp[i][1]-dp[k][1]);
            if(tmp<min)
            {
                min=tmp;
            }
        }
        dp[i][j]=min;
    }
}
//输出
cout<<dp[n][m]<<endl;