POJ 1003 解题分析

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真的好囧啊，1001还放着没做呢就先把1002和1003做了。本着做一篇写一篇的原则先把分析写上来的。

题目描述

题目链接：POJ 1003

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Description

How far can you make a stack of cards overhang a table? If you have one card, you can create a maximum overhang of half a card length. (We're assuming that the cards must be perpendicular to the table.) With two cards you can make the top card overhang the bottom one by half a card length, and the bottom one overhang the table by a third of a card length, for a total maximum overhang of 1/2 + 1/3 = 5/6 card lengths. In general you can make n cards overhang by 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/(n + 1) card lengths, where the top card overhangs the second by 1/2, the second overhangs tha third by 1/3, the third overhangs the fourth by 1/4, etc., and the bottom card overhangs the table by 1/(n + 1). This is illustrated in the figure below.

Input

The input consists of one or more test cases, followed by a line containing the number 0.00 that signals the end of the input. Each test case is a single line containing a positive floating-point number c whose value is at least 0.01 and at most 5.20; c will contain exactly three digits.

Output

For each test case, output the minimum number of cards necessary to achieve an overhang of at least c card lengths. Use the exact output format shown in the examples.

Sample Input

1.00
3.71
0.04
5.19
0.00

Sample Output

3 card(s)
61 card(s)
1 card(s)
273 card(s)

Source

Mid-Central USA 2001

解题分析

转换成形式化描述：

有 $f(n)=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k}$

对于给定的 $c\in[0.01, 0.52]$ 找到最小的n使得 $f(n)\geq{}c$

很显然，一个一个从小往大试肯定不行。我暂时想到了两种方法来解这道题。

调和级数

第一眼看这道题的序列就非常眼熟，查了一下资料，果然被我找到了，原来是高数课学过（汗，高数没好好学，真是惭愧）。

调和级数：形如 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ 的级数称为调和级数，它是p=1的p级数。

调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。

调和级数公式： $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\ln(n+1)+r$ 其中r为常数，Euler近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。

关于调和级数的更多信息，请移步百度百科调和级数条目（话说维基百科被墙的很厉害，图都看不到，实在是令我不得不吐槽一下）

那么现在我就非常开心啦，把这个公式变换一下： $n=\exp(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-r)-1=\exp(f(n)+1-r)-1$

当然，最终还得对n取整数上界 $\lceil{}n\rceil=(int)(n+0.5)$

整个算法也相当简单了，这里r我取的0.5772156649015328，精度够高了吧。

int main()
{
	do
	{
		double goal;
		cin >> goal;
		if(abs(goal - 0.) < 0.001) break;

		double const r = 0.5772156649015328;
		int n = static_cast<int>(exp(goal - r + 1) - 1 + 0.5);
		cout << n << " card(s)" << endl;
	}
	while(true);
	return 0;
}

然而杯具还是发生了，WA了，后来发现这个算法精度还是不够高，大概差了0.1吧，只好放弃了T_T

平衡二叉查找树

需要注意的是，给定的c在0.01和5.20之间，而例子中有一条数据是这样的：输入为5.19，输出为273。

因此我估计最终输出的范围应该在2~300之间，经过计算，发现实际上为277。

根据这些，我们能够推断出这道题主要的耗时部分在于查找，因此可以将所有数据算出来构建一个利于查找的数据结构进行查找。

以f(n)的值为key，n为value建立平衡二叉查找树，查找c应该插入的位置，取出n即为所求。

需要注意的是，由于数据已知，在构建平衡二叉查找树的时候，可以有目的的选择数据，以减少平衡旋转的消耗。

这里是我通过的代码：

#include <iostream>;
#include <cmath>;
#include <map>;

using namespace std;

int main()
{
	map<double, int> harmonicSeriesMap;
	double sum = 0;
	for(int i=2; i<=276; i++)
	{
		sum += 1.0/i;
		harmonicSeriesMap[sum] = i;
	}
	do
	{
		double goal;
		cin >> goal;
		if(abs(goal - 0.) > 0.001) break;
		map<double, int>::const_iterator i = harmonicSeriesMap.lower_bound(goal);
		cout << i->second - 1 << " card(s)"; << endl;
	}
	while(true);
	return 0;
}

甚至于可以更极端一些，直接将树用静态结构建好。（反正数据都是已知的，还不用修改）

总的时间复杂性为T(n) = O(n) + O(n) + mO(logn) = O(n) + mO(logn)

其中，n为276，m为输入c的个数。

总结

这道题如果能用调和级数来解的话那就太快了，哈哈。

总的来说，如果没有注意到初始数据规模很小，可以一次性计算出来然后建立适合查找的数据结构的话，这道题就很难解了：）

posted @ 2010-07-08 11:53 HCOONa 阅读(1286) 评论(1) 编辑收藏举报

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