SP3912 MTREECOL - Color a tree

前言

NOIP 模拟考到了这题，整场比赛死磕这题，最后悲痛拿下 \(\text{0 + 30 + 0 + 0 = 30pts}\) 的高分。

Solution

题意很清楚。每一次染色操作当且仅当父亲节点染过色。每一个节点贡献的价值是点权乘上时间。求贡献和最小。

设当前权值最大的节点为 \(x\)，那么如果 \(x\) 之前的节点被染过色了，\(x\) 就一定要染色。不妨将 \(x\) 与之前的节点合并成一个块。

对于每一个块，我们需要判断如何调整先后顺序来使得贡献最小。先给一个贪心结论吧：根据平均数从大到小。

如何证明？

对于两个块 \(A\) 和 \(B\)，我们设它们的大小分别为 \(n\) 和 \(m\)。

• 若将 \(A\) 排在 \(B\) 前进行操作，贡献即为 \(\sum\limits_{i=1}^{n} A_i \times i +\sum\limits_{i=1}^{m} B_i \times (i+n)\)。

• 若将 \(B\) 排在 \(A\) 前进行操作，贡献即为 \(\sum\limits_{i=1}^{m} B_i \times i +\sum\limits_{i=1}^{n} A_i \times (i+m)\)。

相减得出：\(m\sum\limits_{i=1}^{n} A_i-n\sum\limits_{i=1}^{m} B_i\)。

当该值 \(>0\) 时，也就是如下时，\(A\) 排在 \(B\) 前进行操作贡献更小。否则反之：

\[m\sum\limits_{i=1}^{n} A_i-n\sum\limits_{i=1}^{m} B_i>0 \]

\[m\sum\limits_{i=1}^{n} A_i>n\sum\limits_{i=1}^{m} B_i \]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} A_i}{n}>\frac{\sum\limits_{i=1}^{m} B_i}{m} \]

易发现，这便是 \(A\) 和 \(B\) 两者的平均数。

证毕。

使用并查集维护块的大小、总和以及“平均数”，使用大根堆维护当前权值最大的节点即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。

话说题解区为什么大部分都是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的啊，明明使用堆优化就可以优化到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 啊（

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl "\n"
using namespace std;
int t,n,rt,ans=0;
struct node{
	int fa,sum,siz;
	double val;
}qwq[114514];
int f[114514];
int now=0;
bool vis[114514];
priority_queue<pair<double,int> > q;
int find(int x){
	if(f[x]==x) return x;
	return f[x]=find(f[x]);
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
signed main(){
	while(1){
	    n=read(); rt=read();
		ans=0; now=0;
		if(!n&&!rt) break;
		for(int i=1;i<=n;i++) qwq[i]=(node){0,0,0,0.0};
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++) qwq[i].siz=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=false;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			qwq[i].sum=read();
			ans+=qwq[i].sum;
			if(i^rt) q.push(make_pair(qwq[i].sum,i));
		}
		for(int i=1;i<n;i++){
			int u,v;
			u=read(); v=read();
			qwq[v].fa=u;
		}
		while(!q.empty()){
			int x=q.top().second;
			q.pop();
			if(vis[x]) continue;
			vis[x]=true;
			int fa=find(qwq[x].fa);
			ans+=qwq[fa].siz*qwq[x].sum;
			qwq[fa].siz+=qwq[x].siz;
			qwq[fa].sum+=qwq[x].sum;
			f[x]=fa;
			if(fa!=rt) q.push(make_pair((double)((1.0*qwq[fa].sum)/(1.0*qwq[fa].siz)),fa));
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}