「FHQ-Treap —— 码量最小的平衡树」学习笔记

不同于普通 Treap，FHQ-Treap 不需要左旋和右旋操作来处理数据。因此 FHQ-Treap 也称作无旋 Treap。

FHQ-Treap 是基于 Split（分裂）和 Merge（合并）两种操作的平衡树。其与普通 Treap 的原理完全不同。

一些基础的操作：例如 Insert（插入元素）和 Delete（删除元素）。

对于 Insert（插入元素），新建一棵只有一个元素的 FHQ-Treap，再将这棵 Treap 与之前的 Treap 合并即可。

对于 Delete（删除元素），将这棵 Treap 中的某个元素从其中分裂出去，即可视作已经删除。

而其他一些普通 Treap 能够做到的操作它也能做到。一切都是因为最关键的 Split（分裂）和 Merge（合并）。

Split —— 分裂

Split(int p,int val,int &l,int &r)

一般每次 Split 操作会将当前的 Treap 分裂成一棵 \(\le\) 分裂标准的 Treap 和一棵 \(>\) 分裂标准的 Treap。

其包含四个参数，\(p\) 和 \(val\) 以及 \(l\) 和 \(r\)。

其中 \(p\) 表示当前枚举到的 Treap 的根，\(val\) 表示此次分裂操作的分裂标准。

其中带&的 \(l\) 和 \(r\) 则记录分裂后两颗 Treap 的根。

我们现在枚举到了一颗 Treap，于是有：

• 若当前枚举到的 Treap 的根的权值 \(\le\) 分裂标准，因为左子树内的所有权值必定都 \(\le\) 分裂标准，则不需要继续考虑左子树，直接进入右子树。

• 若当前枚举到的 Treap 的根的权值 \(>\) 分裂标准，因为右子树内的所有权值必定都 \(>\) 分裂标准，则不需要继续考虑右子树，直接进入左子树。

递归 Split 即可。

Code:

void Split(int p,int val,int &l,int &r){
	if(!p){
		l=r=0;
		return ;
	}
	if(Treap[p].val<=val) l=p,Split(Treap[p].r,val,Treap[p].r,r); 
	else r=p,Split(Treap[p].l,val,l,Treap[p].l); 
	pushup(p);
	return ;
}