MPC学习笔记1：基于状态空间模型的预测控制（1）

MPC调节器

1.给定一个由状态空间法描述的离散系统：

MPC控制器与其他线性二次调节器(LQR)的区别就在于其可以很好的将系统动态约束纳入考虑。

采样周期Ts控制了算法的效率，太大会错过很多系统运行时的细节（扰动），太小又使得计算量变大。合适的取值应该取上升时刻Tr的5%-10%，或取调节时间的百分之十，在过渡时间内采样5-16次。

2.MPC的基本运行机理：

1）预测系统未来动态求解

2）优化问题

3）解的第一个元素作用于系统

4）滚动时域、重复进行

3.预测

按照运行机理的第一步，在给定系统动态方程下进行预测系统接下来的状态。对于2.1所描述的系统，将其写成增量形式：

增量形式系统动态方程

MPC可以天然地处理增量式问题，这有助于消除静态误差。MPC在每个采样时刻都在线的求解有限时域（p）一次开环最优问题。因此，在每个时刻我们都把最新的测量值作为初始条件，代入2.4即可预测未来系统动态。在预测的过程中，我们并不考虑系统真实的输出和状态，因为在控制信号输入前一切并未真正发生。同样，可测干扰在k 时刻之后也认为是不变的（在预测的过程中），即Δd(k + i) = 0。这样地去求解开环问题大大简便了计算。为了进一步提高计算速度，我们还在预测域p之外定义一个控制域m。一般m是小于等于p，当t>m时，控制量保持不变：Δu(k + i) = 0。M控制了优化问题独立变量个数，因此在牺牲一定自由度的基础上提高了计算快速性。

P的取值不能太小，否则系统可能由于参考输出r突然变化而无法做出反应。同样，p太大对扰动的反应会很慢。P的选取至少要大于系统开环响应的调节时间Ts，即此时偏差小于2%或5%。

M虽然越小越容易计算，但太小也会导致输出y一直达不到参考输入r。即使m=p，我们也只将第一个u作为真实输入，后续的u对实际输出曲线y的影响较小。故m一般取p或Ts的10%-20%，至少2-3个时间步。

当我们测量得到x（k）时，预测过程就开始了:

进一步，由输出方程（2 . 4b）可以预测k+l 至k+p 的被控输出:

定义p 步预测输出向量和m 步输入向量如下：

矩阵下标表示的是矩阵中向量（或标量）的个数，不一定是矩阵的维数．例如，上式中， p × 1 仅表示马（ k + Ilk ）矩阵中Ye 的个数，当Ye 是向量时， px l

并不等于矩阵的维数．

那么，对系统未来p 步预测的输出可以由下面的预测方程计算：

上式中Su 的下三角形式直接反映了系统在时间上的因果关系，即k+l 时刻的输

入对k 时刻的输出没有影响， k + 2 时刻的输入对k 和k+l 时刻的输出没有影响，

等等。

4.无约束预测控制

给定参考输入r，定义目标函数：

我们所要求解的问题：

将（2.20）写成矩阵向量形式，则

定义辅助变量：

由此我们已经得到了控制序列U(k)。由于我们采用的预测模型是线性的，目标函数是二次型的，且没有考虑时域

硬约束，因此，可以得到优化问题的解析解，无须采用数佳方法求解。

U(k)中的元素是时间的函数，它以测量值y(k)为初始条件，并将第一个元素真实作用于系统:

由函数关系可知，U是当前测量值y(k)的函数：

但这里的控制序列是开环求解的，为了处理外部干扰和模型失配，只将第一个元素作为真实输入。假如将全部元素作为控制输入，y(k+1)之后的测量值将无法使用，使控制系统处于"离线"状态。因此最好的做法是，只用第一个控制输入，随后系统在控制信号作用下进入下一个时刻，得到新的测量值作为初始条件再次求解MPC问题，故也体现出MPC的反馈控制特性:

每个时刻的初始条件不同，MPC的目标函数也是处于动态变化过程中。虽然并不保证能求得全局最优解，但随着反复在线优化，整体控制效果要比传统的最优控制要好。

（2.35）中Ep(k + l l k）由（2.28 ）在线计算．显然3 如果加权阵I'y 和几是与时间无关的常数，则Kmpc 可以由（2 . 34 ）离线计算．在k+l 时刻，得到新的测量值x(k + 1),将由预测方程（ 2. 13 ）重新计算系统未来的输出，井且由（2.33）计算最优控制序列t:.U*(k + 1 ）.最后，由预测控制基本原理中的"滚动时域、重复进行"的机制，给出无约束预测控制的算法如下: