AT_abc340_f [ABC340F] S = 1

首先我们知道：顶点为 \((0,0),(x,y),(a,b)\) 的三角形的面积为 \(\dfrac{|ay-bx|}{2}\)。证明如下：假定 \(a\ge x,y\ge b\)，构造一个以 \((a,y),(0,0)\) 为相对两顶点的矩形，割补法即可得 \(S=ay-\dfrac{1}{2}xy-\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}(a-x)(y-b)=\dfrac{1}{2}(ay-bx)\)。同理易证 \(a,x\) 与 \(b,y\) 在其他大小关系下引入绝对值后也成立。

因此，问题转化为：给定整数 \(x,y\)，求一个整数对 \((a,b)\) 使得
\(|ay-bx|=2\)。

令 \(d=\gcd(x,y)\)：

• 如果 \(d\ge3\)，则答案不存在，因为 \(|ay-bx|\) 始终是 \(d\) 的倍数。
• 如果 \(d=1,2\)，则可以使用扩展欧几里得算法获得解，相当于求解方程 \(|my-nx|=d\)。

将 \((y,-x,m,n)\) 作为 exgcd 的输入，可以得到一对 \((m,n)\) 满足 \(|my-nx|=d\)，由此可得 \(a=\dfrac{2m}{d},b=\dfrac{2n}{d}\)。

复杂度 \(O(\log\min(x,y))\)。本题有 spj。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int x,y;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int d=a;
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
	}
	else
	{
		d=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
	}
	return d;
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>x>>y;
	int a,b,d=__gcd(abs(x),abs(y));
	if(d>=3)
	{
		cout<<-1;
		return 0;
	}
	exgcd(y,-x,a,b);
	cout<<a*2/d<<' '<<b*2/d;
	return 0;
}