P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠-题解

20230918

P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠

Statement

01背包， $n\le 100$，但是容量 $m\le 2^{30}$。

物体的体积可以写成 $a\times 2^b(a\le 10,b\le 30)$

Solution

发现 $W$ 太大了，而 $a,b$ 又很小，

那我们考虑对背包进行分组。

用 $f_{i,j}$ 维护第 $i$ 组容量为 $j\times 2^i$ 的答案。

每一组就直接用普通背包做就可以了。

现在考虑如何合并？

从 $2^{i-1}$ 转移到 $2^i$ 时，我们同样用 $f_{i,j}$ 表示 $2^{0\sim i}$ 位， $j\times 2^i$ 时的答案。

我们考虑可以从 $2^{i-1}$ 那里拿一些上来，

假设拿上来 $k\times 2^i$ ，于是：

$$f_{i,j}=\underset{k=0}{\overset{j}{max}}\{f_{i-1,k\times 2+[W\mathrm{\&}(1<<(i-1))]}+f_{i,j-k}\}$$

其中 $[W\mathrm{\&}(1<<(i-1))]$ 是如果 $W$ 里面本来可以有 $2^{i-1}$ ，

我就可以多拿上来一个。

于是这道题就做完了。

时间复杂度 $O(T\times len\times 1000\times 1000)$

/*https://www.cnblogs.com/hwy0622/p/17713057.html*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

int n,W,len=0,w;
struct node{
  int a,b,val;
  bool operator <(const node &rhs) const{
    return b<rhs.b;
  }
}a[2005];
int f[50][1005];

signed main(){
  /*2023.9.18 H_W_Y P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠 分组背包*/ 
  while(scanf("%lld%lld",&n,&W)){
  	if(n==-1||W==-1) break;
  	for(int i=1;i<=n;i++){
  	  scanf("%lld%lld",&w,&a[i].val);
	  a[i].a=w/(w&(-w));  
	  a[i].b=0;
	  for(w=(w&(-w))>>1;w;w>>=1) a[i].b++;
	}
  	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int j=0;j<=1000;j++) f[0][j]=0;
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)//直接枚举 
	  for(int j=1000;j>=a[i].a;j--)
	    f[a[i].b][j]=max(f[a[i].b][j],f[a[i].b][j-a[i].a]+1ll*a[i].val);
	len=0;
	for(int s=W>>1;s;s>>=1) len++;
	for(int i=1;i<=len;i++){
	  for(int j=1000;j>=0;j--)
	    for(int k=0;k<=j;k++)
	      f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][min(1000ll,(k<<1)|((W&(1<<(i-1)))!=0))]+f[i][j-k]);	//必须要加上!=0	
	}
	printf("%lld\n",f[len][1]);
  }
  return 0;
}

Conclusion

这道题有特殊性质，我们可以考虑把它分组。

在合并的时候注意上一个带上来的贡献……

思路还是挺妙的~