20230830-数学——容斥

20230830
自学容斥
OI-Wiki
$\mathrm{\varnothing }\in \notin \subset \supset \supseteq \subseteq \bigcap \bigcup \bigvee \bigwedge ⨄$

容斥原理

$$\begin{gathered} |\bigcup _{i=1}^n{S}_i|=\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m-1}\sum _{a_i<a_{i+1}}|\bigcap _{i=1}^m{S}_{a_i}| \\ |\bigcap _{i=1}^n{S}_i|=|U|-|\bigcup _{i=1}^n\overline{S_i}| \end{gathered}$$

不定方程非负整数解计数

Statement

给出不定方程
$\sum _{i=1}^n{x}_i=m$和 $n$ 个限制条件 $x_i\le b_i$，其中 $m,b_i\in \mathbb{N}.$ 求方程的非负整数解的个数。

Solution

考虑没有限制时，答案就是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})$
用插板法即可证明

容斥模型

1. 全集：没有限制时所有解的方案数
2. 元素：变量 $x_i$
3. 属性：$x_i\le b_i$

考虑原题中的方案数是这些集合的交集 $|\bigcap _{i=1}^n{S}_i|$
于是用容斥原理的公式可以得到答案就是 $|U|-|\bigcup _{i=1}^n\overline{S_i}|$
而后者就可以用容斥原理来求了，
对于一些 $\overline{S_{a_i}}$ ，我们要求他们的交集
也就是说有些需要满足下限 $x_i>b_i$
考虑如何把下限去掉——
直接剪掉就可以了：
于是我们只需要用组合数去求

$$\sum _{i=1}^n{x}_i=m-\sum _{i=1}^k(b_{a_i}+1)$$

长度为 $k$ 的数组 $a$ 也就相当于在枚举子集

P1450 [HAOI2008] 硬币购物

Statement

传送门
有4种不同面值的硬币，第 $i$ 种面值的硬币价值为 $C_i$
当前每种硬币的数量为 $d_i$ ，问有多少种购买价值为 $S$ 的物品的方式
$n\le {10}^3,S\le {10}^5$

Solution

转化一下题意：
就是求 $\sum _{i=1}^4{C}_i{x}_i=S,x_i\le d_i$ 的非负整数解的数量
于是可以套用上面的容斥模型去完成
考虑对于全集 $U$ 发现 $S$ 很小，
所以可以直接用无限背包去完成即可

这道题主要就在于 $4$ 十分特殊，
这也使得后面容斥时只有 $16$ 种情况

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

const int N=1e5+5;
int c[5],n,d[5],s,m,cnt;
int ans=0,f[N];

signed main(){
  /*2023.8.30 H_W_Y P1450 [HAOI2008] 硬币购物 容斥*/ 
  scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&c[1],&c[2],&c[3],&c[4],&n);
  f[0]=1ll;
  for(int j=1;j<=4;j++)
    for(int i=1;i<N;i++)
      if(i>=c[j]) f[i]+=f[i-c[j]];
  for(int k=1;k<=n;k++){
    ans=0;
  	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&d[1],&d[2],&d[3],&d[4],&s);
	for(int i=1;i<16;i++){
	  m=s,cnt=0;
	  for(int j=1;j<=4;j++)
	    if((i>>(j-1))&1){
	      cnt++;
	      m-=(d[j]+1)*c[j];
	    }	  	
	  if(m>=0) ans+=1ll*(cnt%2*2-1)*f[m];
	}
	printf("%lld\n",f[s]-ans); 
  }
  return 0;
}