洛谷 P1641 [SCOI2010]生成字符串（拓展欧几里得或者）

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：
输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出格式：
输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

输入输出样例

输入样例#1：
2 2
输出样例#1：
2
说明

limitation

每点2秒

对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000

对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

来源：SCOI 2010

思路：卡塔兰数变一下，计算 (n+m)!/(n+1)!/m!*(n-m+1) mod 20100403
除法可以采用拓展欧几求乘法逆元
但是此题我采用了一位dalao用的很神奇的方法；
见代码：（不过多解释，都能看懂）

program df;
var i,j,n,m,x,y,k,t,p:longint;
ans,z:int64;
b:array[0..2000000] of boolean;
a:array[0..2000000] of longint;

function deal(x,y:longint):longint; //计算y!中有几个质因数x
var sum:int64;
begin
sum:=0;
while y>=x do
begin
y:=y div x;
sum:=sum+y;
end;
exit(sum);
end;

begin
p:=20100403;
readln(n,m);
k:=0;
for i:=2 to n+m do
begin
if not b[i] then
begin
inc(k);
a[k]:=i;
end;
for j:=1 to k do
if i*a[j]<=n+m then
begin
b[i*a[j]]:=true;
if i mod a[j]=0 then break;
end
else break;
end;
ans:=1; z:=1;
for i:=1 to k do
begin
x:=deal(a[i],n+m)-deal(a[i],n+1)-deal(a[i],m);
for j:=1 to x do
ans:=(ans*int64(a[i])) mod p;
while x<0 do begin z:=z*a[i]; inc(x); end; //这里是如果是负数说明应当除以这个数x次，但是此时ans不一定能整除，先记录下来，最后一块除
end;
ans:=((ans*int64(n-m+1)) div z) mod p;
writeln(ans);
end.