P7504 「HMOI R1」可爱的德丽莎
好像被我推复杂了...
简述题意
求：
\[\sum^{n}_{x=1}\sum^{n}_{y=1}\sum^{x}_{i=1}i[(x,k_{1})=1][(i,x)=1]\sum^{y}_{j=1}[(y,k_{2})=1][(y,j)=1]j
\]
\(n,k_1,k_2\leq 2\times 10^9\)。
Solution
首先是推式子：
\[\begin{aligned}
ans&=\sum^{n}_{x=1}\sum^{x}_{i=1}i[(x,k_{1})=1][(i,x)=1]\sum^{n}_{y=1}\sum^{y}_{j=1}[(y,k_{2})=1][(y,j)=1]j\\
\end{aligned}
\]
注意到左右两边形式一样，设 \(S(n,k)=\sum^{n}_{x=1}\sum^{x}_{i=1}i[(x,k)=1][(i,x)=1]\)。
那么有：
\[\begin{aligned}
ans&=S(n,k_{1})\times S(n,k_{2})\\
\\
S(n,k)&=\sum^{n}_{x=1}\sum^{x}_{i=1}i[(x,k)=1][(i,x)=1]\\
&=\sum^{n}_{x=1}[(x,k)=1]\sum^{x}_{i=1}i\sum_{g|\gcd(i,x)}\mu(g)\\
&=\sum^{n}_{x=1}[(x,k)=1]\sum^{}_{g|x}\mu(g)g C_{2}(\frac{x}{g})\\
&=\sum^{n}_{x=1}\sum_{t|\gcd(x,k_1)}\mu(t)\sum^{}_{g|x}\mu(g)g C_{2}(\frac{x}{g})\\
&=\frac{1}{2}\sum^{}_{t|k_{1}}\mu(t)\sum^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}_{x=1}x\sum^{}_{g|x}\mu(g)\frac{x}{g}+\mu(g)\\
&=\frac{1}{2}\sum^{}_{t|k_{1}}\mu(t)\sum^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}_{x=1}x\varphi(x)+[x=1]\\
&=1+\frac{1}{2}\sum^{}_{t|k_{1}}\mu(t)\sum^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}_{x=1}tx\varphi(tx))\\
\end{aligned}
\]
如果是求 \(i\varphi(i)\) 的前缀和，可以直接上 Min_25 ，可是这里的形式比较诡异，不能直接求。
不过注意到 \(\mu(t)\not = 0\)，当且仅当 \(t\) 中的每一个质因子只出现一次，似乎是可以做一个DP。
我们令 \(p\) 表示 \(t\) 中的某一个质因子，同时定义一个新的函数 \(G(n,t)\)。
\[\begin{aligned}
G(n,t)&=\sum^{n}_{x=1}x\varphi(tx)\\
&=\sum^{n}_{x=1}[\gcd(x,p)=1]x\varphi(x\frac{t}{p})(p-1)+\sum^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}_{x=1}xp^2\varphi(xp\frac{t}{p})\\
&=\sum^{n}_{x=1}x\varphi(x\frac{t}{p})(p-1)+\sum^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}_{x=1}xp\varphi(xt)\\
&=(p-1)G(n,\frac{t}{p})+pG(\lfloor\frac{n}{p}\rfloor,t)\\
\\
G(n,1)&=\sum^{n}_{i=1}i\varphi(i)=F(n)\\
\\
S(n,k)&=1+\frac{1}{2}\sum_{t|k \And \mu(t)\not = 0}t\mu(t)G(\lfloor \frac{n}{t} \rfloor,t)
\end{aligned}
\]
加上记忆化之后，复杂度便正确了。
首先是 \(G\) 部分，总共状态个数是 \(O(k^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}})\) 的，每次转移是 \(O(1)\)。
然后是 \(F\) 部分，只有 \(O(\sqrt{n})\) 个取值，只需要在 Min_25 内加一个记忆化也是可以做到 $O(n^{\frac{3}{4}}) $ 或者 \(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\ln n})\) 。
视 \(n,k\) 同阶，那么总复杂度为 \(O(n^{\frac{5}{6}})\) ，实测跑的还是比较快的，完全跑不满，瓶颈反而在 Min_25 内记忆化所使用的 map 中。
Code
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
using namespace std;
#define ll long long
#define ri int
#define pii pair<int,int>
const ll mod=998244353,inv=mod+1>>1,inv3=332748118;
ll add(ll x,ll y){return (x+=y)<mod?x:x-mod;}
ll dec(ll x,ll y){return (x-=y)<0?x+mod:x;}
ll ksm(ll d,ll t){ll res=1;for(;t;t>>=1,d=d*d%mod) if(t&1) res=res*d%mod;return res;}
const int MAXN=1e5+7;
int totcnt=0;
namespace Getphi{
const int MAXM=1e7+7;
int val[MAXM],as[MAXM],nxt[MAXM],mapcnt;
struct hmap{
static const int P=10007;
int hed[P];
bool count(int x){
int c=hed[x%P];
while(c){
if(val[c]==x) return 1;
c=nxt[c];
}return 0;
}
int& operator [](int x){
int c=hed[x%P];
while(c){
if(val[c]==x) return as[c];
c=nxt[c];
}
++mapcnt;val[mapcnt]=x;nxt[mapcnt]=hed[x%P];hed[x%P]=mapcnt;
return as[mapcnt];
}
int size(){return mapcnt;}
}S[4650];
int n,p1[MAXN],p2[MAXN],cnt,N,flag[MAXN],prim[MAXN],w[MAXN];
int pos(int x){
if(1ll*x*x<=n) return p1[x];
else return p2[n/x];
}
ll g1[MAXN],g2[MAXN];
ll C2(ll x){return x*(x+1)/2%mod;}
ll C3(ll x){return C2(x)*(x+x+1)%mod*inv3%mod;}
void init(int _n){
n=_n;
N=sqrt(n);
for(ri i=2;i<=N;++i){
if(!flag[i]) prim[++prim[0]]=i;
for(ri j=1;j<=prim[0]&&i*prim[j]<=N;++j){
flag[i*prim[j]]=1;
if(i%prim[j]==0) break;
}
}
for(ri l=1,r;l<=n;l=r+1){
int cur=n/l;r=n/cur;
w[++cnt]=cur;
if(1ll*cur*cur<=n) p1[cur]=cnt;
else p2[n/cur]=cnt;
g1[cnt]=C2(cur)-1;
g2[cnt]=C3(cur)-1;
}
for(ri t=1;t<=prim[0];++t){
for(ri i=1;i<=cnt&&w[i]>=prim[t]*prim[t];++i){
int nxtl=pos(w[i]/prim[t]),nxtr=(t==1?0:pos(prim[t-1]));
g1[i]=dec(g1[i],dec(g1[nxtl],g1[nxtr])*prim[t]%mod);
g2[i]=dec(g2[i],dec(g2[nxtl],g2[nxtr])*prim[t]%mod*prim[t]%mod);
}
}
}
ll getS(int n,int cur){
int P=pos(n);
if(cur&&prim[cur]>=n) return 0;
if(S[cur].count(P)) return S[cur][P];
int r=pos(n),l=cur==0?0:pos(prim[cur]);
ll ans=dec(dec(g2[r],g2[l]),dec(g1[r],g1[l]));
for(ri i=cur+1;i<=prim[0]&&1ll*prim[i]*prim[i]<=n;++i){
for(ll e=1,v=prim[i],W=1;v<=n;++e,v*=prim[i],W*=prim[i]){
ll res=getS(n/v,i);
if(e!=1) ++res;
res=res*v%mod*W%mod*(prim[i]-1)%mod;
ans=add(ans,res);
}
}
return S[cur][P]=ans;
}
ll getphi(ll x){
ll now=getS(x,0)+1;
return now;
}
}
ll ans;
ll sta[64],top;
int f[64][MAXN];
ll g(ll n,int cur){
if(n==0) return 0;
int P=Getphi::pos(n);
if(~f[cur][P]) return f[cur][P];
if(cur==0) return f[cur][P]=Getphi::getphi(n);
return f[cur][P]=add((sta[cur]-1)*g(n,cur-1)%mod,sta[cur]*g(n/sta[cur],cur)%mod);
}
ll S(ll n,ll k){
ll res=1;
for(ri t=1;t*t<=k;++t){
if(k%t) continue;
if(t<=n){
ll x=t;
int now=1;
top=0;
for(ll i=2;i*i<=t&&i<=x;++i){
int cnt=0;
while(x%i==0) ++cnt,x/=i;
if(cnt>1) goto Nex;
if(cnt) sta[++top]=i,now=-now;
}
if(x>1) now=-now,sta[++top]=x;
for(ri i=0;i<=top;++i) for(ri j=0;j<=Getphi::cnt;++j) f[i][j]=-1;
if(now== 1) res=add(res,g(n/t,top)*t%mod);
if(now==-1) res=dec(res,g(n/t,top)*t%mod);
Nex:;
}
if(t*t!=k&&k/t<=n){
ll x=(k/t);
int now=1;
top=0;
for(ll i=2;i*i<=(k/t)&&i<=x;++i){
int cnt=0;
while(x%i==0) ++cnt,x/=i;
if(cnt>1) goto Next;
if(cnt) sta[++top]=i,now=-now;
}
if(x>1) now=-now,sta[++top]=x;
for(ri i=0;i<=top;++i) for(ri j=0;j<=Getphi::cnt;++j) f[i][j]=-1;
if(now== 1) res=add(res,g(n/(k/t),top)*(k/t)%mod);
if(now==-1) res=dec(res,g(n/(k/t),top)*(k/t)%mod);
Next:;
}
}
return res*inv%mod;
}
ll n,k1,k2;
int main(){
// freopen("rand.in","r",stdin);
// freopen("1.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld%lld",&n,&k1,&k2);
Getphi::init(n);
printf("%lld\n",S(n,k1)*S(n,k2)%mod);
}
