期望生成函数笔记
性质
- \(F(1)=\sum^{+\infty}_{i=0}z_{i} = 1\)
- \(F'(1)=\sum^{+\infty}_{i=0}iz_{i} = E(x)\)
- \(V(x)=E(x^2)-E^2(x)=F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2\)
剩下就记录一下几道期望生成函数的做题过程罢。
做题记录
[CTSC2006] 歌唱王国
设 \(f_{i}\) 为长度为 \(i\) 的串结束的概率， \(g_{i}\) 为长度为 \(i\) 的串没有结束的概率。
那么有：
\[\begin{aligned}
F(x)+G(x)&=xG(x)+1\\
G(x)(\frac{1}{n}x)^L&=\sum^{L}_{i=1}[S[1,i]\ is \ border]F(x)(\frac{1}{n}x)^{L-i}\\
\end{aligned}
\]
第一个式子是考虑往一个没有结束的串末尾加一个字符，只有 结束/没结束 两种情况。
第二个式子是考虑往一个没有结束的串末尾加指定串，它肯定是若干个已经结束了的串构成，枚举所有情况即可。
可以发现答案就是 \(F'(1)\) 。
由上式可以得到：
\[\begin{aligned}
F'(x)+G'(X)&=G(x)+xG'(x)\\
F'(1)&=G(1)\\
G(1)\frac{1}{m^L}&=\sum^{K}_{i=1}a_{i}\frac{1}{m^{L-i}}\\
F'(1)&=\sum^{K}_{i=1}a_{i}m^{i}
\end{aligned}
\]
套一个 kmp 即可。
[SDOI2017] 硬币游戏
这题跟上一题差不多，只是现在有了多个模式串而已。
跟上题一样，设 \(F_{i}(x)\) 为以第 \(i\) 个串为结尾的结束了的串的期望生成函数， \(G(x)\) 则同上。
那么有：
\[\begin{aligned}
G(x)+\sum^{n}_{i=1}F_{i}(x)&=xG(x)+1\\
G(x)(\frac{1}{2}x)^m&=\sum^{n}_{j=1}\sum^{m}_{k=1}[S_{i}[1,k]=S_{j}[m-k+1,k]]F_{j}(x)(\frac{1}{2}x)^{m-k}\\
\end{aligned}
\]
其中 \((2)\) 式是枚举往结尾塞入第 \(i\) 个模式串。
而我们要求的是 \(F_{i}(1)\) 。
简单分析之后可得：
\[\begin{aligned}
\sum^{n}_{i=1}F_{i}(1)&=1\\
G(x)\frac{1}{2^{m}}&=\sum^{n}_{j=1}\sum^{m}_{k=1}[S_{i}[1,k]=S_{j}[m-k+1,k]]\frac{1}{2^{m-k}}F_{1}(1)\\
\end{aligned}
\]
高斯消元即可。
