伯努利数

定义&求解

设数列 \(B_{n}\) 为伯努利数，满足一下性质：

\[\begin{aligned} B_{0}&=1\\ \sum^{n}_{i=0}\binom{n+1}{i}B_{i}&=0\\ \end{aligned} \]

在 OI 中一般用这个来求 \(k\) 次方前缀和。

显然有一个 \(O(n^2)\) 的递推式：

\[\begin{aligned} \binom{n+1}{n}B_{n}&=-\sum^{n-1}_{i=0}\binom{n+1}{i}B_{i}\\ B_{n}&=\frac{-\sum^{n-1}_{i=0}\binom{n+1}{i}B_{i}}{n+1} \end{aligned} \]

实际上，可以利用生成函数来做到 \(O(n\log n)\)。

\[\begin{aligned} \sum^{n-1}_{i=0}\binom{n}{i}B_{i}&=0\\ \sum^{n}_{i=0}\binom{n}{i}B_{i}&=B_{n}\\ \sum^{n}_{i=0}\frac{n!}{i!(n-i)!}B_{i}&=B_{n}\\ \sum^{n}_{i=0}\frac{B_{i}}{i!(n-i)!}&=\frac{B_{n}}{n!}\\ \end{aligned} \]

如果我们令 \(B(x)\) 为其指数生成函数，那么可以发现左边实际上是卷上了一个 \(e^x\) 。

但是上面这个式子只当 \(n>1\) 的时候才成立，所以要手动修正 \(B_{0},B_{1}\) 的系数。

\[\begin{aligned} B(x)&=e^xB(x)-x\\ B(x)&=\frac{x}{e^x-1}\\ \end{aligned} \]

直接套上一个多项式求逆就可以 \(O(n\log n)\) 的复杂度求出 \(B\) 了。

简单应用

求 \(S_{k}(n)=\sum^{n}_{i=1}i^k\) 。

我们令 \(F(x)\) 为 \(S(n)\) 的指数生成函数。

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{x^iS_{i}(n)}{i!}\\ &=\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{x^i\sum^{n}_{j=1}j^i}{i!}\\ &=\sum^{n}_{j=0}\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{x^ij^i}{i!}\\ &=\sum^{n}_{j=1}e^{ix}\\ &=\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1}\\ &=\frac{B(x)e^x}{x}(e^{nx}-1)\\ &=\frac{B(x)e^x}{x}(-1+\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{n^ix^i}{i!})\\ &=\frac{B(x)+x}{x}(-1+\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{n^ix^i}{i!})\\ \end{aligned} \]

为了方便，我们定义 \(B'(x)=B(x)+x\) 。

\[\begin{aligned} &\frac{B'(x)}{x}(-1+\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{n^ix^i}{i!})\\ &=B'(x)\sum^{+\infty}_{i=0}\frac{n^{i+1}x^i}{(i+1)!}\\ \end{aligned} \]

对于只要求第 \(k\) 项的时候，可以暴力卷积。

\[\begin{aligned} S_{k}(n)&=k!\sum^{k}_{i=0}\frac{B'_{i}n^{k-i+1}}{(k-i+1)!i!}\\ &=\frac{1}{k+1}\sum^{k}_{i=0}\binom{k+1}{i}B'_{i}n^{k-i+1}\\ \end{aligned} \]

至此，可以做到 \(O(k)\) 求出单项的值。 虽然有不用脑子，且复杂度差不多的插值法