【数学1】基础数学问题 知识点总结

前言

本篇文章是luogu官方题单【数学1】基础数学问题 的相关知识点个人总结

埃氏筛 & 欧拉筛 (基础)

虽然理论上欧拉筛比埃氏筛快，但是因为埃氏筛有cache，实际运行比欧拉筛要快
目前本人只见过欧拉筛模版题会卡这个（乐），但其实埃氏筛稍微优化一下常数甚至比欧拉筛跑的还快
埃氏筛完全够用

• 埃氏筛 $O(nloglogn)$

//不用vector<ll>记录质数
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n;
int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
 
    cin>>n;
 
    vector<bool> not_prime(n+1,false);
 
    not_prime[1]=true;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
        for(ll j=i*i;j<=n;j+=i){
            not_prime[j]=true;
        }
    }
 
    return 0;
}

//记录小于等于n的质数
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,q,k;
int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
 
    cin>>n>>q;
 
    vector<bool> not_prime(n+1,false);
    vector<ll> vec;
 
    not_prime[1]=true;
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        if(!not_prime[i]){
            vec.push_back(i);
            for(ll j=i*i;j<=n;j+=i){
                not_prime[j]=true;
            }
        }
    }
 
    return 0;
}

欧拉筛 $O(n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,q,k;
int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
 
    cin>>n>>q;
 
    vector<bool> vis(n+1,true);
    vector<ll> vec;
 
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]){
            vec.push_back(i);
        }
        for(ll j=0;i*vec[j]<=n;j++){
            vis[vec[j]*i]=false;
            if(i%vec[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
 
    return 0;
}

质因数 (很多题都用到了)

对于合数 $x$，最大质因子不超过$\sqrt{x}$
复杂度压到根号的原理

最大公因数 & 最小公倍数

• 最大公因数gcd

ll gcd(ll x,ll y){ return (y==0?x:gcd(y,x%y)); }

• 最小公倍数lcm

$lcm(x,y)=\frac{x\cdot y}{gcd(x,y)}$

• 推导公式

$gcd(x,y)=z\to gcd(x/z,y/z)=1$

$gcd(x,y)=\frac{x\cdot y}{lcm(x,y)}$

排列组合

$C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)$

$C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

欧拉函数（P3601签到题）

1. 标准分解式：x的质因数从小到大幂之积
   $x=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_n^{k_n}$

2. 欧拉函数：小于等于x的正整数中与x互质的数的个数
   $\varphi (x)=\prod _{i=1}^n(p_i-1)\cdot p_i^{k_i-1}$

对于欧拉函数有个很巧妙的求法
因为 $x$ 中本身就含有 $p_i^{k_i}$
先令 $\varphi (x)=x$
找到 $x$ 的质因数 $p_i$ 后
对 $\varphi (x)$ 直接除 $p_i$ 再乘 $p_i-1$ 即可