20241104 前言

开个新坑
我真的很有日记癖
但也是真的懒得写
希望自己在退役前能一直更下去
蓦然回首的时候能清晰地看到来时路

点技能树：数位dp

传送门

windy数：https://www.luogu.com.cn/problem/P2657
圆数：https://www.luogu.com.cn/problem/P6218

总结

数位dp挺套路的，一般问 $[l,r]$ 内满足某个条件的数的个数
设 $f(x)$ 为 $[0,x]$ 内满足条件的数的个数
则 $ans=f(r)-f(l-1)$
用 记忆化dfs+dp储存状态 解决

dfs(ll pos,bool lim,bool zero, ... )

• $pos$ 是当前位置
• $lim$ 表示是否前面的值是不是贴着放的（即之前每一位都与上限对应值相同）
• $zero$ 表示前面所有位数是不是都是前导零
• 剩下的参数根据题目而定，一般是前面的数位的某些属性（比如windy数pre_num，圆数是前面的数位在二进制下 $dd=0\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}-1\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}+dx$）

数位dp的dfs：

1. 退出条件
   • pos=0 遍历完了
   • 非特殊情况(!lim && !zero)，且 该位置dp值合法
2. 状态转移
3. 若非特殊情况，更新该状态dp值
   状态转移看题目，推出条件的返回值也看题。

补题

Reverse the Rivers

https://codeforces.com/contest/2036/problem/E
一列数满足非递减，二分上下界即可。
懒得手搓二分，只想用lower_bound/upper_bound解决一切，导致T了一发（懒到家了）

XORificator 3000

https://codeforces.com/contest/2036/problem/F
$F(x)$ 表示 $[0,x]$ 的异或和
关于异或和的一些结论：

• 有个结论连续四个数的异或和是0
• 而0和x的异或和即为x本身。
• $x\oplus y=z⟺x=y\oplus z$

• $$F(x)=\{\begin{array}{ll}x& x=0(mod4)\\ 1,& x=1(mod4)\\ x+1& x=2(mod4)\\ 0& x=3(mod4)\end{array}$$

$[l,r]$ 异或和 $sum=F(l-1)\oplus F(r)$

设 $G(n,i,k)$ 为 $[0,n]$ 内不有趣数的个数
$G(n,i,k)=F(m)\cdot 2^i\oplus (cntmod2==1?k:0)$
其中

• $m=\lfloor \frac{n-k}{2^i}\rfloor$ 表示 $[2^i,n-k]$ 有多少位数
• $cnt=m+1$
  当然 $n<k$ 要特判 $0$
  或许我应该尝试证明一下？

Flipping Cards

https://codeforces.com/gym/104768/problem/M
二分答案的一道题，二分中位数
中位数性质：数列中大于等于mid的个数大于等于$(n+1)/2$的最大的数

Cells Arrangement

https://codeforces.com/contest/1968/problem/E
构造题，曼哈顿距离最大为(1,1)->(n,n)即 $2n-2$
所以最大可能是[0,2n-2] 共2n-1种情况
$(1,1)(2,2)...(n-2,n-2)+(n-1,n)(n,n)$的构造法
$(n-1,n)$ 在对角线上的点产生3，5，...，2n-3 的距离
$(n,n)$ 在对角线上的点产生4，6，...，2n-2的距离
自己和自己产生0，(n,n-1)与(n,n)产生1，对角线上相邻的点产生2
n大于等于4，这样构造可行
特判n为2，3，也可以
证毕（但是我自己不会构造呵呵呵）

反思：写日志太久了 下次我应该写简单一点