【笔记】SD2021省队第一轮集训Day1

Day1 图论杂题

例1 Jump

在数轴上有 n 个跳跃重心 a_1,a_2,…,a_n。

你每次可以选择一个跳跃重心，跳到当前位置关于它对称的地方去。

q 次询问，每次给出起点 s 和终点 t，询问从起点到终点最少需要跳多少步，无解输出 -1。

数据范围：1≤n≤200，0≤a_i,s,t≤〖10〗^{4，1≤q≤〖10〗}5。

想法一

对每个跳跃中心直接建\(n\)条边然后每次单源最短路。复杂度 \(O(n*maxa*q)\)。

想办法怎么沿用上一次询问。

正解

留坑（1）

\(x -> 2 * a_k - x\)

\(x -> 2 * (a_{p_k} - a_{p_{k - 1} + ...) + (-1) ^ k * x\)

枚举\(k\)的奇偶性

复杂度\(O(n*maxa + q)\)

例2 Today is a rainy day

给定两个数字串 s 和 t，长度均为 n，且仅包含数字 123456。

你每次可以进行下面两种操作：

1.修改串的某一位。

2.选定两个数字 x,y（1≤x,y≤6），把串中所有数字等于 x 都改为 y。

求把 s 改成 t 的最小步数。

数据范围：1≤n≤100。

思路

先搞步骤2再搞步骤一。步骤二一共只有\(6 *6 = 36\)种映射关系。

例3 Walk

给定一张 n 个点的有向图，点 i 的权值是 〖val〗_i，若 〖val〗_i and 〖val〗_j=〖val〗_j，则 i 向 j 连单向边。

另外再给定 m 条有向边，求 1 号点到每个点的最短路。

数据范围：n≤2×〖10〗^{5，m≤3×〖10〗}5，0≤〖val〗_i<2^20。权值都为1。

子集连边

拆虚点表示边？

每个点只想比自己小一的点连边还是减去lowbit连？

最后跑01BFS时间复杂度为线性。

例4 树上传送

给定一棵树，i 号点可以花费 v_i 的代价，传送到距离不超过 d_i 的点去。

求 1 号点到每个点的最短路。

数据范围：n≤3×〖10〗^5。

想法1

先缩一波点?联通块内收缩一下？

正解

（NOI2019 ）

建点分树后一个点一步跳到的点拆成围绕logn个分治中心的一个固定半径区域的并。批量放进dijkstra堆里进行更新。（把一个半径内的点一起丢进去）。

前置知识：dijkstra？？是我不会的迪杰？！

堆维护pair<分治中心，半径>表示一个范围内的所有边

例5 Travel

貌似要在反图上BFS。记一下有过少条边不让走，要是都不让走就只能走大的边，不然就走小的边。

例6 Kirakira

对于给定的 n，有函数 f(x)=∑_(i=1)^n▒〖x mod i〗。

对于所有 i≥1，结点 i 连单向边到 f(i)。

求这个无限图中的最长环长。

数据范围：n≤10000。

解法1

我震惊，好美的一个随机算法。

首先\(f(x)\)的权值在\([0,n *(n - 1)/2]\)，而且\(f(x)\)关于\(x\)呈正态分布，密集出现的\(f(x)\)出现在\(n * (n - 1) / 4\)附近。要解决这个题得写内向基环树森林，然后随机。

解法2

算一下差值\(f(n) - f(n - 1) = n - anotherthing\)

生成树

Borůvka：每个点选取最近（如果是最小生成树）的点连边，重边只算一次，缩连通块，每次每个连通块大小至少为2，缩连通块后点数至少除以2，最多log_2⁡n次内结束，O(每次复杂度×log⁡n )。

好像邻域。。

例7 新年的繁荣

直接挖坑

例8 病毒实验

直接读不懂题

例9 Expectation

给定一张 n 个点 m 条边的无向连通图，每条边有两个权值 a,b，求以 a 建出来的最小生成树的权值 b 的和的期望（每棵树中均匀随机）。

模 998244353。

数据范围：n≤〖10〗^{5，m≤2×〖10〗}5，相同的 a 的数量不超过 30。