$CDQ$分治总结

A.\(CDQ\) 分治

特别基础的教程略。

\(CDQ\)分治的优缺点:
( 1 )优点:代码量少,常数极小,可以降低处理维数
( 2 )缺点:必须离线处理。

\(CDQ\)分治与其他分治最本质的不同在于:

分治到达\([L,R]\)时,分治处理\([L,mid]\)\([mid+1,R]\)
然后递归上来合并的时候:
只考虑 [L,mid]中元素 对 [mid+1,R] 中元素的影响

看起来这句话非常简单,但只要正真理解了这句话,也就理解了\(CDQ\)分治。
只要是满足这个原则的分治,都是可以称作\(CDQ\)分治的。
下面给出几个例子,都是为了理解这句话:

例题1:

给定长度为\(10^5\)的一个序列,有一下两种操作:
(1)type=1:x val ,把序列第x位置的元素加上val
(2)type=2:x y , 求解[x,y]元素值的和

树状数组大水题.....
如果用\(CDQ\)分治呢?(虽然非常非常没有必要).
我们把求解\([x,y]\)元素之和拆分为求前缀和\(pre[y]-pre[x-1]\)
那么会对\(pre[x]\)产生影响的为:操作时间在其之前,修改位置\(\leq x\)的修改操作
建立二元组\((time , x)\),外部以time排序,然后分治。
分治时,每次以\(x\)归并排序,
合并\([L,mid]\)\([mid+1,R]\)时,统计\([L,mid]\)有几个修改操作。
那么如果在\([mid+1,R]\)碰到了修改操作,自然此时的统计数即为答案。
注意到上面:只统计[L,mid]的修改,只计算[mid+1,R]的答案
这就是\(CDQ\)分治的关键所在,因为这样统计可以做到不重不漏,代码见这里

例题2:

三维偏序问题:
给定\(n\)个元素,每个元素有三个属性\(a,b,c\)
定义\(f(i) = \sum_{i=1}^n [i!=j]\times [a_j<a_i 且 b_j<b_i 且 c_j<c_i]\)
试计算\(f(1),f(2),...f(n)\),数据范围 \(n \leq 10^5\)

三维偏序是\(CDQ\)分治的最经典应用。
先确定分治原则:
建立三元组\((a,b,c)\),外部先按照\(a\)排序,消除\(a\)的影响。
然后分治内部以\(b\)为准则进行归并。此时我们保证了\(a_j<a_i\)\(b_j<b_i\)
第三维\(c_j<c_i\)怎么办?用以\(c\)值建立权值树状数组维护即可。
具体流程为:

(1)递归处理\([L,mid]\)与[mid+1,R];
(2)以\(b\)为准则归并,其中:
( 2>1 )若为\([L,mid]\)元素,将其\(c\)值插入权值树状数组
( 2>2 )若为\([mid+1,R]\)元素,在权值线段树中查询小于其\(c\)值的元素个数。
(3)回溯;

观察到处理时,依旧满足上面\(CDQ\)分治的特性。
如果偏序原则中为\(\leq\)即可,那么需要先去重。具体代码见这里

\(CDQ\)分治的写法

一个非常大的误区:\(CDQ\)分治一定要归并或边归并边处理。
这其实是不对的,上面说过,只要满足\(CDQ\)分治原则就可以称为\(CDQ\)分治。
所以\(CDQ\)分治的写法其实是多重多样,甚至不拘一格的。

B.CDQ分治中分治原则的确定

\(CDQ\)分治中的一个难点就是确定分治原则。
在我们分治前,我们会确定元素的分治多元组。
分治多元组的确定关键是看分治中对答案的影响因素。
下面给两个非常经典的例题:

例题3:

序列初始为空,接下来每次会在指定位置\(i\)插入一个元素\(x\)
求每次插入后,序列中的逆序对个数。
保证插入元素的值不重复,数据范围\(n \leq 10^5\)

确定三元组\((time , pos , val)\),然后分治:
外部以\(time\)进行排序,消除\(time\)的影响。
然后内部以\(pos\)为原则进行归并,然后怎么处理呢?
考虑一下元素对答案的影响:
每次新增的点对此时答案的贡献为:
(1)插入时间比它早,位置在它前面,值比它大的元素。
(2)插入时间比它早,位置在它后面,值比它大的元素。
所以我们先以\(pos\)从小到大归并排序好。
然后从前往后正着扫一遍,
如果元素的\(time \leq mid\),那么在树状数组中插入它的\(val\)
如果元素的\(time > mid\),那么在树状数组中查询大于它的\(val\)的元素个数,加入答案。
然后再从后往前倒着扫一遍,处理方法一样。
这样我们最后就得到了每加入一个元素新增的贡献数,最后统计一下答案即可。
具体代码戳我

例题4:

给定一个大小为\(n*n\)的矩阵,初始每个格子元素都为\(0\)
一共有\(10^5\)个操作,操作如下:
(1)type=1:x y val ,把(x,y)位置的元素加上val。
(2)type=2:x1 y1 x2 y2, 查询(x1,y1)到(x2,y2)这个矩形的元素和。

貌似是上面的 例题1 的升级版....
由二维变为三维,怎么做呢? 其实差不多。
二维前缀和之类的略,自己\(yy\),然后:
建立三元组\((time , x , y)\)
会影响询问答案的为:操作时间早于其,x、y都小于等于它x、y的修改操作
所以外部以\(time\)排序,然后以\(x\)为原则归并。
归并的时候,如果是左边区间的修改操作,把其修改值\(val\)值插入树状数组中的\(y\)位置。
如果是右边的查询操作,查询树状数组中小于等于其\(y\)值的元素值之和。
这题做完了......

C.\(CDQ\)分治的嵌套使用

1.解决四维偏序问题:

首先我们考虑三维偏序的解决方法:
外围排序三元组变为\([L,b,c]与[R,b',c']\),然后归并变为\([L,L,c]与[R,R,c']\)
所以此时只需要在树状数组中查询\(c\)了。
那么四维是不是类似呢?
首先外围排序,四元组变为\([L,b,c,d]与[R,b,c,d]\)
然后我们先以\(b\)为原则归并,但是并不统计答案。
此时我们要记录归并好的序列中每一个元素的\(a\)是属于\(L\)还是\(R\)
那么此时只有\(b\)是有序的,\(a\)虽然无序但是我们记录了其来源(顺序)。
即此时的四元组为\([L/R,L,c,d]\)\([L/R,R,c',d']\)
此时把这个新的序列带入下一层\(CDQ\)中再跑一遍,不就是三维偏序的处理吗?
但是这里注意,为了保证\(a\)的顺序,只有\([L,L,c,d]\)\([R,R,c',d']\)的元素才是合法的。
这个也非常好解决,第一层\(CDQ\)归并时对每个元素打一个标记即可。
具体的代码见这里

2.解决N维偏序问题

这里提个醒,用嵌套\(CDQ\)解决\(N\)维偏序问题的复杂度是\(O(N\ log^{N-1}N)\)的。
其实搞懂了四维偏序的解决方法后,五维、六维....不是一样的吗?
四维时我们打了一层标记,消除了一维的影响,最终变为了三维偏序问题。
那么\(N\)维我们则先归并\(N-3\)遍,打\(N-3\)层标记。
这样一共消除了\(N-3\)维的影响,然后再跑三维偏序即可。
实现五维偏序的具体代码见这里

一些非常优秀的题目(难度递增):

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posted @ 2018-01-28 14:30  GuessYCB  阅读(411)  评论(0编辑  收藏  举报