一类dp的网格模型

关于形如\(f_{i,j} = \sum_{t=1}^{|w|}\sum_{k=1}^{|v|}f_{i+w_t,j+v_k}\)，其中\(w_t,v_k\)为一个定值的\(dp\)转移。
可以考虑放到坐标上，画出其转移路线，然后考虑组合意义。

Section1

求\(\sum_{i,j} \binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}\)，其中\(a,b\leq 4000,n\leq 10^6\)。

\(\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}\)等价于从\((-a_i,-b_i)\)走到\((a_j,b_j)\)的方案数。
建图后直接从左下往右上暴力\(dp\)出解。

Section2

定义一个\(n\)的排列合法，当且仅当：设\(n\)的位置为\(x\)，有：

\[p_1<p_2<p_3....<p_{x-1}<p_x>p_{x+1}>....>p_{n-1}>p_n \]

有\(m\)个限制\((pos,v)\)，形如\(p_{pos} = v\)，
数据范围：\(m\leq n\leq 10^5\)，求合法排列数。

考虑从小往大放，设\(f_{i,j}\)表示放完\(1,2...i\)，左侧放了\(j\)个。
转移方程：\(f_{i,j} =f_{i-1,j-1} +f_{i-1,j}\)。
初始在\((0,0)\)每次放一个相当于移动\((+1,0)\)或\((+1,+1)\)。
限制相当于限制\(f_{v,j}\)必须通过特定方向到达该点。
而每一列最多就两个特殊点，直接对特殊点进行\(dp\)，最后一列特殊处理一下即可。

Section3

[JLOI2015]骗我呢

考虑突变的位置，设\(f_{i,j}\)表示做到第\(i\)行，该行突变位置为\(j\)。
有：\(f_{i,j} = f_{i,j-1} +f_{i-1,j+1}\)，其中\(f_{i,0} = f_{i-1,0}\)。
画出转移路线，把转移路线拽直可以发现，问题转化为：
从\((0,0)\)出发，到达\((n+m,n)\)，且不经过\(y=x+2\)和\(y=x-(m+1)\)的方案数u。
容斥计算。

Section4

[NOI2018]冒泡排序

设\(f_{i,j}\)表示还剩下\(i\)个要放，前面的最大值为\(j\)的方案数。
显然当前点要么放比\(j\)大的数，要么放还没放的数中最下的那个。
由于我们是逆推所以：\(f_{i,j} = f_{i-1,j} + \sum_{k=j+1}^{n} f_{i-1,k} = \sum_{k=j}^n f_{i-1,k}\)。
考虑统计答案，枚举在哪个点\(i\)开始处于自由态。
由于不会放\(a_i\)，而\(a_i\leq max_{pre}\)，所以一定只能放比\(max_{pre}\)大的数。
此时的方案数为\(\sum_{k=max_{pre}+1}^n f_{n-i,k} = f_{n-i+1,max_{pre}+1}\)。
唯一的问题变为如何快速处理\(f\)。
显然合法的\(f_{i,j}\)需要满足\(j\ge n-i\)，画出转移路线图，问题转化为：
从\((0,n)\)出发，不经过\(y=-x+(n-1)\)到达\((i,j)\)的方案数。
这是经典问题，答案为 \(\binom{i+n-j}{i} - \binom{i+n-j}{i+1}\)。