常系数齐次线性递推

常系数齐次线性递推

给定递推式\(f_n =a_1f_{n-1} + a_2 f_{n-2}...+a_k f_{n-k}\)。

给定\(f_0,f_1...f_k\)，求\(f_n\)。

先定义\(f_n\)的特征方程：\(C(x) = x^{k} - a_1 x^{k-1} - a_2 x^{k-2}...-a_{k-1}x - a_k\)。

求齐次线性递推通项式

由基本代数定理，\(C(x) = 0\) 的解(称为特征根)有\(K\)个，设为\(\alpha_1\)、\(\alpha_2...\alpha_K\)。

有\(f_n\)的母函数\(G(x) = \frac{P(x)}{(1-\alpha_1 x)(1-\alpha_2 x)...(1-\alpha_K x)}\)。

对于非重根\(\alpha\)，它在通项公式\(T_n\)中的贡献形如\(A \alpha^n\)，其中\(A\)为待定系数。

对于重根\(\beta\)，设其为\(r\)重根，它在通项公式中的贡献形如\((\sum_{i=1}^r h_i n^{r-i} )\beta^n\)。

根据上述把通项式\(T_n\)列出来，利用前\(K\)项待定系数即可得到通项公式。

求齐次线性递推式

定义向量\(A_i = (f_i,f_{i+1},f_{i+2}...f_{i+k-1})\)，定义转移矩阵\(M\)。

初始我们知道\(A_0 = (f_0,f_1,f_2...f_{k-1})\)，现在要求\(f_n\)，即求\(A_n = (f_n,f_{n+1}...f_{n+k-1})\)。

可以矩阵快速幂\(A_0*M^{n}\)，复杂度\(O(k^3logn)\)。

将转移矩阵\(M\)带入特征多项式有：\(F(M) = M^k - \sum_{i=1}^k a_i M^{k-i}\)。

根据某定理，我们有\(F(M) = 0\)，所以我们可以对\(M^n\)化简，即\(M^n \equiv G(M)\ (mod\ F(M))\)。

即我们求出\(G(M)\)，那么\(A_0G(M)\)与\(A_0M^n\)等价。

\(A_n = A_0G(M) = A_0\sum_{i=0}^{k-1} g_i M^i\)，其中\(g_i\)即我们多项式取模后第\(i\)项的系数。

然后\(A_n = \sum_{i=0}^{k-1} g_i A_0M^i\)。我们只需要求\(f_n\)，即只需要知道向量\(A\)的第一项。

所以\(A = A_0M^i\)的第一项是什么？不就是\(f_i\)吗！而\(f_i,i\in [0,k-1]\)我们事先知道。

所以\(f_n = \sum_{i=0}^{k-1} g_i f_i\)。

实现上，关键在于求\(G(x)\)，显然\(M^n\)我们不能一开始就把它存成一个多项式，所以需要倍增。

倍增的同时需要多项式乘法与多项式取模，

暴力做的话总复杂度为\(O(k^2logn)\)，使用多项式运算复杂度为\(O(klogklogn)\)。