概率论与数理统计

\[方差:D(x)=E\{[x-E(x)]^2\} = E(x^2) - E(x)^2 \Longrightarrow E(x^2)=D(x)-E(x)^2 \\ 协方差:Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y) \\ 相关系数:\rho_{xy}=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt[]{D(x)D(y)}} \\ 01分布：E(x)=p,D(x)=np \\ X\sim B(n,p):E(x)=p(1-p),D(x)=np(1-p) \\ X\sim P(\lambda):E(x)=\lambda,D(x)=\lambda \\ 几何分布：E(x)=\frac{1}{p} \\ X \sim e(\lambda): E(x)=\frac{1}{\lambda},D(x)=\frac{1}{\lambda ^ 2} \\ X \sim U(a,b):E(x)=\frac{a+b}{2},D(x)=\frac{(b-a)^2}{12} \\ X \sim N(\mu,\delta ^2) : E(x)=\mu,D(x)=\delta^2 \\ 一维随机变量: \\ 非连续型随机变量:E(g(x)) = \sum g(x)p \\ 连续型随机变量: E(g(x)) = \int^{+\infty}_{-\infty} g(x)f(x) dx \\ 二维随机变量: E(g(x,y))= \int^{+\infty}_{-\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy \\ 期望的性质: \\ E(a)=a,E(ax)=aE(x),E(x \pm y)=E(x) \pm E(y),当x与y独立时:E(xy)=E(x)E(y) \\ 方差的性质: \\ D(a)=0,D(ax)=a^2D(x) \\ 当x与y独立时:D(x \pm y)=D(x) + D(y) \\ 当不独立时:D(x \pm y)=D(x) + D(y) \pm 2Cov(x,y) \\ 协方差: \\ Cov(x,y)=Cov(y,x),Cov(x,a)=0 \\ Cov(x,y+z)=Cov(x,y)+Cov(x,z),Cov(ax,by)=abCov(x,y),Cov(x,x)=D(x) \\ 相关系数: \\ \rho_{xy} = 0说明不相关，\mid\rho_{xy}\mid = 1相关，当\rho_{xy}=1时正相关，为-1时负相关。(\mid\rho_{xy}\mid\leq 1) \\ xy正相关\rightarrow P{y=ax+b}=1 (a>0)，xy负相关\rightarrow P{y=ax+b}=1 (a<0) \\ 独立一定不相关，不相关不一定独立。例：X \sim U(-1,1) \\ 矩和协方差阵: \\ (X,Y)的协方差阵为： \begin{bmatrix} Cov(x,x)=D(x)&Cov(x,y)\\ Cov(y,x)&Cov(y,y)=D(y) \end{bmatrix} \\ (X_1,X_2,\dots,X_n)的协方差阵记作V=[\delta_{ij}]_{n\times n} \\ k阶原点矩：E(x^k) k \in N^+ \\ k阶中心距：E\{[x-E(x)]^k\} k = 2,3\dots \\ l+k阶混合原点矩：E(x^ly^k) k,l \in N^+ \\ l+k阶混合中心距：E\{[x-E(x)]^l[y-E(y)]^k\} l,k \in N^+ \\ 二维正态分布： \\ f(x,y)=(\mu_1,\mu_2,\delta_1,\delta_2,\rho)=\frac{1}{2\pi \delta_1 \delta_2 \sqrt[]{1-\rho^2}} e^{\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\delta_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\delta_1 \delta_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\delta_2^2}]\}} \\ 其中X \sim N(\mu_1,\delta_1^2),Y \sim N(\mu_2,\delta_2^2),Z=aX+bY+c \Longrightarrow Z \sim N \\ 当\rho=0时，x与y独立，Cov(x,y)=0,D(x \pm y)=D(x)+D(y) \]