Kruskal算法和Prim算法

这两个算法都是求最小生成树的算法,这里有个模板题
P3366 【模板】最小生成树

Kruskal算法与Prim算法相比比较好理解,基于贪心的思想,每次选取不会产生圈(重边)的权值最小的边,直到所有顶点连通。

Kruskal

具体做法:

  1. 将所有顶点看成一个独立的集合
  2. 将边按权值从小到大进行排序
  3. 利用并查集进行分组,如果一个边使得俩个顶点集合联通,那么就把这俩集合分成一组
  4. 直到所有顶点都属于一个集合

如果读者不会并查集,请先去学习并查集再来学最小生成树

这里使用的使优先队列,使用sort也是可以的,重写一下compare函数即可

  1. 创建一个小根堆,把所有边放入堆中,那么堆顶便是权值最小的边。
  2. ans为题目结果,cnt为有多少边被使用,最小生成树的边为n1,其中n为顶点个数
  3. 从堆顶获取最小的边,判断这个边所对应的俩顶点(from,to)是否在同一组,不在同一组就把他俩合并到同一组里,然后++cnt并且更新ans的值
#define ufr(i, x, y) for (int i = x; i <= y; ++i)
struct vertex {
int from, to, cost;
bool operator<(const vertex& v) const { return this->cost > v.cost; }
};
priority_queue<vertex> que;
ufr(i, 1, M) que.emplace(vs[i]);
int ans = 0, cnt = 0;
while (!que.empty()) {
vertex ver = que.top();
que.pop();
if (!same(ver.from, ver.to)) {
ans += ver.cost;
++cnt;
unit(ver.from, ver.to);
}
}

最后一步判断是否可以生成一个最小生成树,就是判断cntn1是否相等

Prim

这里存图使用了链式前向星
prim算法与Dijkstra算法比较相似,步骤:

  1. 创建一个dis数组,,表示最小生成树的起点s,值代表最小生成树中以该顶点为终点的边的权值,初始值设置成无穷大。
  2. 更新以s为起点的边,并将以这些边为终点的顶点,然后标记s已经访问过(这里跟Bellman Ford中遍历比较相似),更新其在dis数组中值。
  3. 然后循环遍历,在dis数组中找一个没访问过,并且在最小生成树中权值最小的顶点(说人话就是没访问过,并且在dis数组中值最小的索引值)
  4. 重复上面的步骤,直到所有顶点都访问过或者无顶点可以访问

解释一下各变量的意思:

  1. now就是本次访问的顶点,根据上面的说明,就是当前在最小生成树中,为访问的顶点,并且以该顶点(now)为终点的边以其他未访问过的顶点为终点的边都小
  1. ans答案,tot总共已经访问了几个顶点,顶点最多就只能访问N次,所以while(tot++ < N)
  1. visited数组代表访问过哪些点,dis数组代表在最小生成树中以索引为终点的边的最小权值
  1. 每次循环都要选择一个顶点,而minn就代表以那个顶点为终点的边的最小权值,如果一次遍历minn==inf说明没找到,那么首先tot没到N,说明处理的顶点少于N,并且没顶点处理了,说明无法生成最小生成树
#define goto(x, y) x + 1, x + y + 1
#define mm(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define ufr(i, x, y) for (int i = x; i <= y; ++i)
struct {
int to, w, next;
} edge[MAX_N << 1];
int head[MAX_N], cnt = 0;
int dis[MAX_N];
bool visited[MAX_N];
fill(goto(dis, N), inf);
mm(visited, 0);
int tot = 0, now;
ll ans = 0;
dis[1] = 0;
while (tot++ < N) {
int minn = inf;
ufr(i, 1, N) if (!visited[i] && minn > dis[i]) {
minn = dis[i];
now = i;
}
if (minn == inf) {
f.pts("orz").ln();
return;
}
visited[now] = true;
ans += minn;
for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
if (!visited[edge[i].to] && dis[edge[i].to] > edge[i].w)
dis[edge[i].to] = edge[i].w;
}
}

小根堆优化Prim

普通Prim算法每次寻找权值最小的边需要重新迭代一遍dis数组,这里可以使用小根堆进行优化,因为只需要一个未访问的权值最小边即可,这里把dis数组中的值跟其索引(也就是顶点)组合为一个二元组放入小根堆中,中间的if判断是,只处理未访问过的顶点和以该顶点为终点的边。

priority_queue<vertex> que;
int tot = 0;
ll ans = 0;
que.emplace(1, 0);
while (!que.empty() && tot < N) {
vertex ver = que.top();
que.pop();
if (vis[ver.to]) continue;
ans += ver.cost;
vis[ver.to] = true;
tot++;
for (int i = head[ver.to]; i; i = edge[i].next) {
if (!vis[edge[i].to]) que.emplace(edge[i].to, edge[i].w);
}
}

次小生成树

从点s到点v的次短路径无非就是两种情况

  1. (s,u)的最短路径加上边(u,v)
  2. (s,u)(u,v)disdis2$,dis记录最短路,而dis2记录比dis大一点的路径。

解释代码:

  1. if (dis2[v] < w) continue;如果这个边比当前第二小的还大,那么就没必要进行判断了。
  2. 第一个if代表如果目标点比dis中的值小那么就交换他俩的值,为啥交换呢,因为dis中的值可能比dis2小,所以要保留dis中的值
  3. 第二个if如果d处于disdis2之间所以他是次小边,至少现在是的。

对于次小(长)生成树和次短(长)路径思路都是相同的,要记住一个要点。两个点s,v的次短路径就是从s到另一个点u的最短路径加上(u,v)边或者从s点到另一个点u的次短路径加上边(u,v)

mm(dis, 0x7f);
mm(dis2, 0x7f);
priority_queue<vertex> que;
dis[1] = 0;
que.emplace(1, 0);
while (!que.empty()) {
tie(v, w) = que.top().i2();
que.pop();
if (dis2[v] < w) continue;
for (int i = head[v]; i; i = edge[i].next) {
ll d = edge[i].w + w;
if (dis[edge[i].to] > d) {
swap(dis[edge[i].to], d);
que.emplace(edge[i].to, dis[edge[i].to]);
};
if (dis[edge[i].to] < d && d < dis2[edge[i].to]) {
dis2[edge[i].to] = d;
que.emplace(edge[i].to, dis2[edge[i].to]);
}
}
}
f.pt(dis2[N]).ln();
posted @   管管19  阅读(134)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 【.NET】调用本地 Deepseek 模型
· CSnakes vs Python.NET:高效嵌入与灵活互通的跨语言方案对比
· DeepSeek “源神”启动!「GitHub 热点速览」
· 我与微信审核的“相爱相杀”看个人小程序副业
· Plotly.NET 一个为 .NET 打造的强大开源交互式图表库
点击右上角即可分享
微信分享提示