SPFA和链式前向星
链式前向星
一种存储图的数据结构
建立一个结构体和一个数组加一个变量,这里的to代表边\((u,v)\)中的\(v\)结点,而\(edge\)数组的索引\(idx\)代表\(u\),其中\(w\)代表权值,\(next\)代表以\(u\)为起始点的上一个边。
\(head\)代表这个\(x\)结点在\(edge\)数组中的最后一个边的下标索引,\(cnt\)用于记录边时当\(edge\)的下标索引用。
struct {
int to, w, next;
} edge[MAX_N];
int head[MAX_N], cnt = 0;
为链式前向星添加边
++cnt
为新添加的边选择一个空变量edge[++cnt].next=head[u]
代表让\(edge[cnt]\)中的\(next\)变量指向\(u\)结点的上一个边- \(head[u]=cnt\)代表更新结点\(u\)的最后一条边在\(edge\)中的下标
edge[++cnt].next=head[u];
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].to=v;
head[u]=cnt;
遍历
首先获取结点\(x\)的最后一条边,经过数据处理后,将i移向结点\(x\)的上一条边
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
SPFA算法
求最小单源路径
- 将源点放入队列中,并标志源点\(s\)已经在队列之中\(vis[s]=true\)
- 进入一个循环,当队列为空,各节点的最短路径便求出来了
- 从队列中取出一个结点,并更新标志,遍历该结点的边,对符合条件的各边\(dis[edge[i].to]>dis[v]+edge[i].w\)进行松弛,然后如果符合条件的松弛边目标结点如果未在队列中,则放入,更改标志。
松弛:对于每个顶点v∈V,都设置一个属性\(d[v]\),用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界,称为最短路径估计。就是这个操作\(dis[edge[i].to] = dis[v] + edge[i].w;\)
queue<int> que;
que.emplace(s);
vis[s] = true;
while (!que.empty()) {
int v = que.front();
que.pop();
vis[v] = false;
for (int i = head[v]; i; i = edge[i].next) {
if (dis[v] + edge[i].w < dis[edge[i].to]) {
dis[edge[i].to] = dis[v] + edge[i].w;
if (!vis[edge[i].to]) {
que.emplace(edge[i].to);
vis[edge[i].to] = true;
}
}
}
}
求是否存在负环
如果一个图存在负环,那么其的最短路径一定会存在一个无限循环,经过负环后,路径越来越小,那么一定有一些结点,一直入队出队,判断是否有结点入队次数大于\(n\)次
queue<int> que;
que.emplace(1);
vis[1]=true,dis[1]=0;
while (!que.empty()) {
int v = que.front();
que.pop();
vis[v] = false;
fe(ver, G[v]) if (dis[ver.to] > dis[v] + ver.cost) {
dis[ver.to] = dis[v] + ver.cost;
if (!vis[ver.to]) {
if (++cnt[ver.to] >= n) {
//存在负环
}
que.emplace(ver.to);
vis[ver.to] = true;
}
}
}