[bzoj2440]完全平方数[中山市选2011][莫比乌斯函数][线性筛][二分答案]

题意：求第k个分解质因子后质因子次数均为一的数，即求第k个无平方因子数。

题解：

　　首先二分答案mid，那么现在就是要求出mid以内的无平方因子数的个数。

　　其次枚举$\sqrt{mid}$内的所有质数，由容斥原理

　　　　$Num=0个质数平方的倍数的数量(1的倍数)-1个质数平方的倍数的数量(9,25...的倍数)$

　　　　　　$+2个质数平方的倍数的数量(36,100...的倍数)...$

　　可以发现对于一个数x，x的倍数数量对答案的贡献符号为$\mu(x)$。

　　例如：9的倍数数量最答案的贡献是$\mu(9)\lfloor{\frac{mid}{9}}\rfloor=-\lfloor{\frac{mid}{9}}\rfloor$

　　所以最终mid以内的个数为

　　　　$Cnt=\sum\limits^{\lfloor{\sqrt{mid}}\rfloor}_{i=1}(\mu(i)\lfloor{\frac{mid}{i^2}}\rfloor)$

　　其中莫比乌斯函数为积性函数所以可以用线性筛预处理。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int    T,n,p[51000],Mu[51000],noprime[51000];
bool    visited[51000];

void Mobius(const int N)
{
    int    pnum=0; Mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!visited[i]) { p[pnum++]=i; Mu[i]=-1; }
        for(int j=0;j<pnum && i*p[j]<N;j++)
        {
            visited[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0) { Mu[i*p[j]]=0; break; }
            Mu[i*p[j]]=-Mu[i];
        }
    }
}

int    Check(const int x)
{
    int    temp=sqrt(x),Ans=0;
    for(int i=1;i<=temp;++i)
        Ans+=Mu[i]*(x/i/i);
    return Ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T); Mobius(50000);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int l=0,r=2e9;
        while(l<r-1)
        {
            int    mid=l+((r-l)>>1);
            if(Check(mid)>=n)r=mid;
            else    l=mid;
        }
        printf("%d\n",r);
    }
    return 0;
}