Codeforces1499D The Number of Pairs

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题目大意

有 T 组询问

每组询问给定三个整数 \(c,d,x\)

问有多少对 \((a , b)\) 使得 \(c\times lcm(a,b) - d\times gcd(a , b) = x\)

\(1 <= t <= 10^4\)，\(1<=c,d,x<=10^7\)

解题思路

\(c\times lcm(a,b) - d\times gcd(a , b) = x\)

\(c\times \dfrac{a \times b}{gcd(a,b)} - d\times gcd(a , b) = x\)

\(c \times a\times b - d\times gcd(a , b)^2 = x \times gcd(a,b)\)

\(c \times a\times b = x \times gcd(a,b) + d\times gcd(a , b)^2\)

\(c \times \dfrac{a}{gcd(a,b)}\times \dfrac{b}{gcd(a,b)} = \dfrac{x}{gcd(a,b)} + d\)

因为 \(c \times \dfrac{a}{gcd(a,b)}\times \dfrac{b}{gcd(a,b)}\) 为整数，\(d\) 为整数

所以 \(\dfrac{x}{gcd(a,b)}\) 为整数，所以 \(gcd(a,b)\) 为 \(x\) 的因子

于是 \(gcd(a,b)\) 我们可以在 \(\sqrt{x}\) 的复杂度内枚举

定义 \(A = \dfrac{a}{gcd(a,b)} , B = \dfrac{b}{gcd(a,b)}\)
那么有 \(gcd(A , B) =1\) ，\(A \times B = \dfrac{\dfrac{x}{gcd(a,b)} + d}{c}\)

定义 \(R = {\dfrac{x}{gcd(a,b)} + d}\)

因为 \(A \times B\) 为整数，所以 \(R\) 要满足 \(R\bmod c = 0\)

于是问题就转换成 有多少对 \(A,B\) 满足 \(\begin{cases}\gcd \left( A,B\right) =1\\ A\times B=R\end{cases}\)

对于 \(A \times B= R\)，只要将 \(R\) 的质因子分配给 \(A\) 或 \(B\) 即可

对于 \(gcd(A , B) = 1\)，只要将 \(R\) 的某个质因子全部分给 \(A\) 或者全部分给 \(B\) 即可

那么 \(R\) 的贡献就是 \(2^{p_{cnt}}\) ，其中 \(p_{cnt}\) 表示 \(R\) 的质因子个数

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 

const int M = 2e7 + 10;

int cnt[M];

signed main()
{
	int T , up = 2e7;

	for(int i = 2 ; i <= up ; i ++)
	{
		if(cnt[i]) continue ;

		for(int j = i ; j <= up ; j += i) cnt[j] ++ ;
	}
	
	cin >> T;
	
	while(T --)
	{
	
		int c , d , x , res = 0;
	
		cin >> c >> d >> x;
	
		for(int i = 1 ; i * i <= x ; i ++)
		{
			if(x % i == 0)
			{
				int R = x / i + d;
	
				if(R % c == 0)
				{
					R /= c;
				
					res += 1ll << cnt[R];	
				} 
			
				int j = x / i;
			
				if(j == i) continue ;
			
				R = x / j + d;
			
				if(R % c == 0)
				{
					R /= c;
			
					res += 1ll << cnt[R];
				}
			}
		}
		
		cout << res << '\n';
	}
	return 0;
}