P3694 邦邦的大合唱站队

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题目大意

\(N\) 个人排成一列，每个人都有自己所属的乐队，其中第 \(i\) 个人一开始所在的位置为 \(i\)

你可以从队列中抽出任意数量的人，抽出后他们所在的位置将为空，之后你可以再把他们放进任意空位置

现要求同一个乐队的人必须站在一起，问最少要抽出多少人

解题思路

定义 \(cnt[i]\) 表示乐队 \(i\) 的总人数

定义 \(dp[i]\) 表示{已处理好该状态所对应的所有乐队}的最少出列个数

对于状态 \(110\) (二进制)
\(dp[110]\) 可以由 \(dp[100]\) 和 \(dp[010]\) 转移得到

而 \(dp[100]\) 率先处理好的乐队是 \(3\)

可以认为率先处理好乐队 \(3\) 就是把该乐队成员放在 \(1\) ~ \(cnt[3]\) 的位置上

\(dp[010]\) 率先处理好的乐队是 \(2\)

可以认为率先处理好乐队 \(2\) 就是把该乐队成员放在 \(1\) ~ \(cnt[2]\) 的位置上

那么 \(dp[110]\) 就可以由{先处理 \(3\) 再处理 \(2\)} 和 {先处理 \(2\) 再处理 \(3\)} 两种情况取最优得到

同理 \(dp[111]\) 是由乐队 \(1\)、乐队 \(2\)、乐队 \(3\) 从第一个位置开始任意摆放所得到的最优解

所以我们无需再考虑摆放顺序

而将第 \(i\) 个乐队成员摆放在 \([L , R]\) 的代价 \(=\) 该区间长度 \(-\) 该区间第 \(i\) 个乐队的人的个数

这步我们可以用前缀和维护

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 10;

int dp[1 << 20];

int cnt[N] , sum[N][21];

int a[N];

int get(int l , int r , int x){
	return (r - l + 1) - (sum[r][x] - sum[l - 1][x]);
}

signed main()
{
	memset(dp , 0x3f3f , sizeof(dp)) , dp[0] = 0;
	
	int n , m;
	
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	{
		cin >> a[i];
		
		for(int j = 1 ; j <= m ; j ++) sum[i][j] = sum[i - 1][j];
		
		sum[i][a[i]] ++ ;
		
		cnt[a[i]] ++ ;
	}
	
	int up = (1 << m) - 1;
	
	for(int i = 1 ; i <= up ; i ++)
	{
		int R = 0;
		
		for(int j = 0 ; j <= m - 1 ; j ++) if(i >> j & 1) R += cnt[j + 1];
		
		for(int j = 0 ; j <= m - 1 ; j ++) if(i >> j & 1)
		{
			int k = i - (1 << j);
		
			int L = R - cnt[j + 1] + 1;
		
			dp[i] = min(dp[i] , dp[k] + get(L , R , j + 1));
		}
	}
	
	cout << dp[up] << '\n';
	
	return 0;
}