04 2020 档案
摘要：题意 "51nod" 做法 令$f_{n,d}$为$d$层，目前维宽度为$n$ $f_{n,d}=\sum\limits_{i=1}^nf_{i,d 1}(n−i+1)^k$ 构造矩阵转移，上三角对角线相等矩阵，快速算就完了 题外话 一遍过qwq
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摘要：题意 "51nod" 做法 要是想不到树就删号重练吧 令$F_k$为深度不超过$k$的森林个数的EGF 不超过$k$的森林，就是若干棵不超过$k$的树，取掉树的根，就是不超过$k 1$的森林 就有$F_k=e^{xF_{k 1}}$
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摘要：题意 "51nod" 做法 考虑一个红色点能否往相邻点$y$里走 断开$x$与$y$的边 $Y tree$存在空点，显然可以 $y tree$没空点。$x$有两棵子树存在空点，显然可以 $y tree$没空点。$x$有一棵子树存在空点。 考虑$x$这棵子树深度最浅的度数大于$3$的点，空出该节点到$
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摘要：题意 "51nod" 做法 经典的dp套dp 每次直接推$f_{n+1,n+1}$，显然只能从$f_{n,n},f_{n,n 1},f_{n,n 2},f_{n 1,n},f_{n 2,n}$转移过来，故将颜色按最小表示法压起来
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摘要：题意 $n$个点的树，初始有$a,b$两点是黑色的，其他是白色的，每次可以将某个与黑色节点相邻的某个白色节点染黑。一个方案不同当且仅当某一回合染黑的点不同。求将所有点染黑的方案数。对$998244353$取模。\(n,a,b\le 234567\)。\(8s\) 做法 考虑若$a=b$，将$a$置为
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摘要：题意 已知$e_n+\sqrt2f_n=(1+\sqrt2)^n,e_n \sqrt2f_n=(1 \sqrt2)^n,g_n=lcm_{i=1}^nf_i$，求$\sum_{i=1}^{n}g_i\times i$ 做法 $e_n+\sqrt2f_n=(1+\sqrt2)(e_{n 1}+\sqr
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摘要：题意 已知$m$次多项式$f(x)$在$0,1,\cdots ,m$处的取值分别为$f(0),f(1),\cdots,f(m)$，给定$n,x$，求 $\left(\sum_{k=0}^n\binom nkf(k)x^k(1 x)^{n k}\right)\bmod998244353$ $n\le
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摘要：题意 "51nod" 做法 定义 ：等差数列两个等差数列不同当且仅当任意相邻两项不同 结论 ：大小为$n$的集合长度至少为$k$的不同的等差数列个数是$O(\frac{n^2}{k^2})$ 证明： 定义两个位置靠近为距离不超过$\frac{n}{k 1}$。可以发现相同的等差数列至少存在一对靠近的
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摘要：题意 "51nod" 做法一（暴力） 令$f_n$为$n$分解方案数 $n~is~even$ $f_n=f_{n 1}+f_{n/2}$ $n~is~odd$ $f_n=f_{n 1}$ 做法二 考虑将$n$二进制分解，然后出现有效位分别为$a_1,a_2,...,a_m$ 将$n$分解后，定义最小
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摘要：题意 "51nod" 做法 构造矩阵$.s.t~f_n=(T\times F^n)_{0,0}$ $Ans=(T\times (\sum\limits_{S\subseteq U} F^{|2U S|}))_{0,0}$ 考虑一个一个加进来，$S\longrightarrow S+\{x\}$，$A
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摘要：题意 "51nod" 这题漏了一句话$B A$ 做法 考虑$A,A+L 1$ 后面那部分肯定是照搬的，前面两位会有可能进位，主要是看这里 然后写个数位dp暴力 就是一直while，然后每次看这两位是否符合，不符合就数位dp找大于目前数且符合的最小数，然后再while，如果全部符合了就输出 不太会分析
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摘要：题意 "51nod" 做法 $[l,r]$可以差分，下面考虑表示$[0,N]$内的数 令$d=(A,B)$，$A,B,N$除以$d$对答案是没有影响的 当$(A,B)=1$时，可以表示出来的数可唯一表示成$p\times A+q\times B(p\in [0,B))$ $$Ans=\sum\lim
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摘要：题意 "51nod" 做法 考虑拼接的情况，$f(m 2)=S_1,f(m 1)=S_2$，若$S_1,S_2$较大，就会把拼接的情况限制在内 进一步的，会发现再过几次就都是$S_2$拼接在$S_2$后面了，预处理出来快速幂即可
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摘要：题意 "51nod" 做法 $p=\frac{x^4 y^4}{x^3+y^3},p\in prime$ 令$d=(x,y)$，将原$x,y$改写成$dx,dy,(x,y)=1$ 原式等价于$p(x^3+y^3)=d(x^4 y^4)\Longrightarrow p(x^2 xy+y^2)=d(x
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摘要：题意 "51nod" 做法 $p$在${m\choose k}$中出现的次幂为： $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \left\lfloor\frac{m}{p^i}\right\rfloor \sum\limits_{i=1}^{\infty} \left\lfloor\fr
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摘要：题意 "51nod" 做法 将内部点染色，黑色为交换子树，白色为不动 考虑一种结果的最小表示法，若有左子树，则该点与其颜色相反 这个，感性理解吧... 然后对于内部$n 1$个节点，只有左子树是叶子节点的能自由选择 $h_n=\sum\limits_{i=1}^{n 1}h_i\times h_{n
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摘要：题意 "51nod" 做法 令$f_{i,j,k}$表示前$i$列，还有$j$列没填，现在能处理且还未处理右区间的有$k$行 然后乱搞 题外话 没见过这种状态，涨姿势...
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摘要：题意 "51nod" 做法 $n$次多项式，由$x$的$0\sim n$阶差分能构造矩阵推得$x+1$的$0\sim n$阶差分，同理得$x+1$推得$x$的矩阵 矩阵是上三角对角线相等矩阵，可以$O(n^2)$实现乘法 令$S(n)=\sum\limits_{i=L}^n f(i)b^{n i+1
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摘要：题意 "51nod" 做法 $2^{abk}+2^{abk}=2^{abk+1}$ $x=2^{bk},y=2^{ak}$，对应的$z=2^l,.s.t~cl=abk+1$，解方程即可 唯一的问题是要求$x,y,z\in (0,m)$，当$m=2^{?}$时会有问题，随便分类讨论一下即可
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摘要：题意 $n\times m$的方格，放$2n$个石子，每行每列不超过$2$的方案数 做法 转化为二分图，行列分别为点集$S,T$ 每行有两个石子：$S$中每个点度数为$2$ 枚举$T$中度数为$2$的点个数$k$，则剩下$2(n k)$个一度点， 将每个二度点拆开，两个二度点$(a,b)(c,d)$
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摘要：题意 "51nod" 做法 无论怎样，每行的竖边是相互平行的，每列的横边也是相互平行的 添加固定边的目的是维护一行一列，则此题等价于求二分图联通数量
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摘要：题意 \(\sum\limits_{i=0}^n {n\choose i}|i^k-(n-i)^k|\) 数据范围 做法 \(i=am+b\) \(|i^k-(n-i)^k|=i^k-(n-i)^k\Longrightarrow am+b<n-am-b\Longrightarrow a<\left\
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摘要：题意 $$\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k (n i)^k)^2$$ "数据范围" 做法 $$\begin{aligned} \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k (n i)^k)^2&=\sum\limits_{b=0}^{m 1}
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摘要：8级题 "1696" "1567" "1626" "1248" （已补） "1171" "1156" "论文" "1151" "1147" "1123" 初等数论没带回家，等下个月会学校再补... 9级题 "1034" FKT "1075" "1139" 线性代数 "2156" "2586" "16
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摘要：题意 "51nod" 做法 在$gcd(x,y)$的过程中，仅有第一次可能出现$x\le y$的情况 下面假定$x y$ 考虑一棵递归的树，节点是二元组$(a,b)(a b,a\le m)$。$(a,b)\longrightarrow (a',b')$则令$(a',b')$为$(a,b)$的父亲 点
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摘要：题意 给出一棵$n$个节点的字符串树，每个节点都是长为$x$字符$c$的字符串，父亲与儿子的$c$不同，每个点代表一个以根为首以其结尾的字符串，对于字符串$S$，$f(S)=\sum fail_i$，$fail_i$为$kmp$的失配指针，求每个点的$f(S)$。$n,x\le 10^5$ 做法 性
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摘要：题意 "洛谷" 做法一 对不合法的块数容斥一下，然后把EGF乘起来 填不合法块数的方案数为${n 3i\choose i}$ $O(n^2logn)$ 优化（这种做法网上好像还没有） 倒序枚举块数，四个EGF里面新添加一个单项式，一个一个加进去，则贡献为单项式乘上多项式，这个可以$O(n)$算出来，
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摘要：题意 "洛谷" 做法 令$p=\sum p_i$ 令$f_i$为进行$i$次恰好到达目标状态的方案数，写成EGF的形式： $$\hat {F(x)}=\prod(\frac{e^{(p_i/p)\cdot x+( 1)^{s_i}e^{ (p_i/p)\cdot x}}}{2})$$ 令$g_i$为
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摘要：题意 给定$p,k$，$T$次查询，每次询问给定$n$，求$\sum\limits_{i=1}^n i^k(\%~p)$。（$2\le n,m,k\le 10^{18},1\le T\le 3 10^3$，$p$最大质因子不超过$3 10^5$） 做法 $p$最大质因子不超过$3 10^5$，直接暴
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摘要：题意 "loj" 做法 dp出$f_{i,j}$为第$i$棵树划分成$j$条路径的方案数（起点跟终点不同） 这样一种方案就是将每棵树划分成路径，然后全排列，满足相邻两个不属于同一棵树，第一个点是确定的，最后一个点不是第一棵树的 对于除第一棵树以外的树$i$，搞一个指数生成函数： $$\sum\lim
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摘要：题意 对于$d$层完全二叉树，$T$次查询，给定$a,b$，求$a,b$路径编号和$x$，以及树上有多少条路径编号和为$x$。$d\le 50,T\le 10$ 做法 令$cnt(x)$为$x$二进制中$1$的个数 结论1 ：点$x$到根路径和为$2x cnt(x)$。在树根为$1$或$0$时均成立
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摘要：题意 洛谷 做法 先来说个暴力 从前往后枚举$k=(1,2,...,n)$ 我们维护这样一个集合$P_k$，集合内任意两个元素$i,j(i<j)\(，满足\)\text(S[i:],S[j:])\ge k-j+1$，即有可能在$\ge k$的前缀中成为答案的集合 考虑从$P_$过渡到$P_k$ 初始
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摘要：题意 有$n$盏灯，$m$个限制。每个限制$(x,y)$表示第$x$盏灯与第$y$盏灯之间必须且只能亮一盏。 记一种情况$x$亮着的灯的数量为$f_x$，求$\sum {(f_x)}^k$ $n\leq 200000,k\leq 100$ 做法 二分图，然后分连通块处理 $x^n=\sum\limi
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摘要：题意 有一条直线，你在$0$位置，你要去$h$位置。 路上有一些不同的位置上有敌人，你要和他战斗，你有$p_i$的概率赢。若你赢，则你可以走过去，否则你会死。还有一些不同的重生点（与敌人位置不同）。你每经过一个重生点有$p_i$的概率插旗。你死亡后你会在最后一个插旗的位置重生，然后该位置的旗子消失。
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摘要：题意 给定一张$n$个点$m$条边的无向图。每个顶点有一个颜色，要么是黑，要么是白。我们想进行一些操作，使得最终每一条边的两个端点都是不同的颜色。每一次操作，你可以将一条边的两个端点交换颜色。求最少的操作次数和具体的操作方式。$n\leq 500$ 做法 黑白染色 原来是黑色的$i$：$S\long
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摘要：题意 给定$n$点树，给定$l_i,r_i$，要求给每个点$a_i$，$s.t. l_i\le a_i\le r_i$，使得相邻点对$(u,v)$，$s.t.(a_u,a_v)=1$。求所有方案节点$i$的$a_i$和。（$n\le 50,1\le l_i\le r_i\le 50000$） 做法
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摘要：题意 有标有数字为$1\sim 9$的卡片各$a_1,a_2\cdots a_9$张，还有标有乘号的卡片$m$张。从中取出$n$张按任意顺序排列，取出两个乘号相邻和乘法在边界上的非法式子，剩下的都是合法式子。求所有合法式子的方案的值的和。两张数字相同的卡片是不同的，两张乘号也是不同的。答案模${10
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摘要：题意 给你两个$[0,1]$之间等概率随机权值和优先级序列，你需要把这个序列插入到一棵treap中，问这棵treap的期望深度，请对于$[1,n]$中的每个深度分别输出它的概率（实数，保留五位小数） 做法 按权值排序后，优先级显然也是随机的 所以这题可以转化成一个随机序列的笛卡尔树高度 令$f[i]
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摘要：题意 做法 等价成每个点父亲比其小 考虑新加入点的在$1$下面的子树大小 有$\sum\limits_^n {n-i\choose m-1}(m-1)!(n-m-1)!m$为恒等式 令$f_i$为子树大小为$i$获胜的概率 有$1-f_i=\sum\limits_f_j\times(1-f_)$，即
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摘要：题意 你需要构造一个$n$个点的二分图 定义$F(A)$表示左部点集$A$能够到达的右部中的点 使得满足 $F(A)证明： 这里证明$B_1=1$的，然后$B_1$等于其他数的大体过程也是下面这样，但有些细节不同 $\begin{aligned}\\ F&=\sum\limits_{i=1}^n \
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摘要：题意 做法 令$N=\lfloor\frac{n 1}{2}\rfloor$：$ans=\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=2 i+1}^n(y 2)!{j 2\choose y 2}(n y)!=(y 2)!(n y)!\sum\limits_{i=1}^{N}
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摘要：题意 有 $n$ 个数 $x_1 ~x_n$ 。你需要找出它们的一个排列，满足 $m$ 个条件，每个条件形如 $x_a$ 必须在$x_b$之前。在此基础上，你要最大化这个排列的最大子段和 做法 $x_i0$ $S\longrightarrow i(flow:x_i),i'\longrightarro
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摘要：题意 做法 结论1 ：新地址一定都建在旧地址上 然后因为是曼哈顿距离，可以把二维拆成一维来做，以$x$这维为例，先将其排序 对于$i\in[1,m]$，拆$n+1$个点出来 $S\longrightarrow (i,1)(flow:inf),(i,n+1)\longrightarrow T(flow
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摘要：题意 \(a_i,b_i\)，$q$次询问$(l,r)$，求$min{\sum\limits_^r max(|a'-a_i|,|b'-b_i|)}$ 做法 $\begin\ &max(|a'-a_i|,|b'-b_i|)\ &=max(a'-a_i,a_i-a',b'-b_i,b_i-b')\ &=
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摘要：题意 $n$个点的树，$q$次查询，每次查询给定$k$，进行若干次操作，每次操作删除树上一条深度递减的点数$\le k$的链，求最少的操作次数。$n\le 10^5$ 做法 设$num$为叶子个数，一个询问的答案是$O(num+\frac{n num}{k})$ 证明： 贪心，每次选择一个最深的未被
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摘要：题意 $n$排列，分解出的轮换个数的$m$次方的期望$\times n!$。$n\le 10^5,m\le 30$ 做法 $\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}i^m\\ &=\sum_{i=1}^n\be
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摘要：题意 $n$种不同的硬币，不限制个数，两两为倍数关系。求取$m$元的方案数。$(n\le 50,m\le 10^{18})$ 做法 按面值排序 设$f_i(x)$为取完前i种后，取走$a_i x+m\%a_i$ 有$f_i(x)=\sum\limits_{k=0}^x f_{i 1}(\frac{a
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摘要：题意 $n$点$m$带边权图，每条边有两种权值，分别为两个不同方向的，求最短的从$1$开始的不经过重复边的路径长度。两点之间最多有一条边 关于两点之间最多有一条边，题目并不是这样的说的，然而较优的做法过不了可重边的情况，然后实际数据也没重，就当是没重边吧 做法一 暴力做法：钦定开始边$(1,u)$，
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摘要：题意 $n$点$m$条边的DAG，求删除一点后最长路径的最小值。 做法 令$f_i$为以$i$结束的最长路径，$g_i$为以$i$出发的最长路径 用权值线段树维护这样一个集合： 可重 删除一个元素，若不存在这个元素则对集合没有影响 令拓扑序为$a_i$，初始将$g_i$加入集合$S$ 顺序遍历拓扑序
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摘要：题意 求补图的连通块个数 做法 起初$S,T$是全集 \((1)\)：若$S$非空，从$S$中弹出一个点，将其加入空集$A$，将其弹出$T$，进行$(2)$操作；否则退出 \((2)\)：若$A$非空，弹出任意点$x$，进行$(3)\(操作；否则返回\)(1)$ \((3)\)：将$x$在原图中的邻
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摘要：题意 $n\times m$的方格，黑白染色，使得任意$2\times 2$的方格黑色数为奇，有$k$个方格已经钦定了颜色，求方案数。 做法 $a_{i,j}=[(i,j)~is~black]$ $a_{i,j}\oplus a_{i+1,j}\oplus a_{i,j+1}\oplus a_{i+
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摘要：题意 $n$个带点权点，$i,j$边权值为$a_i\And a_j$，求最大生成树 做法一 将点权相同的先处理掉 倒序枚举边权$x$，使得在不形成环的情况下选择 做法二 考虑brouvka算法 匹配最大值，当前位为$1$则往$1$那边跑，$0$则都跑，直接把$1$儿子合并到$0$儿子上，每个点维护属
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摘要：题意 $n$个带点权点，$i,j$边权值为$a_i\oplus a_j$，求最小生成树 做法 建01trie，某点左儿子点集为$S1$，右儿子点集为$S2$ 把$S1$间连起来，把$S2$间连起来，再在$S1,S2$间找一条最小的边，这个用trie优化 正确性：Boruvka算法
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摘要：题意 "洛谷" 做法 经典的错误dp：$f_{i,j}=min\{f_{k,j 1}or(sum_i sum_{k})\}$ 对于这样一种分割$[?,?],[?,?],...,[k+1,i]$，若$(sum_i sum_k)$是个位数为$len$的数，前面那些贡献第$len$位是否为$1$无所谓 对
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摘要：题意 给定平面上n个点，将这些点染成红or蓝色，要求每行、每列红色点与蓝色点数量的差的绝对值<=1。输出方案(保证有解) 做法 对列和行抽象成点，对点$(x,y)$抽象成边$x y$ 对连通块内的奇度数点两两匹配连虚边，对所以边跑欧拉回路，然后交错染色，特殊条件： 从起点向虚边出发，然后随便跑：仅起
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摘要：题意 给出一个无向图(连通，可能有重边和自环)，要求加尽量少的边，并给每条边定向，使每个结点的入度和出度都是偶数 做法 度数为奇数的点显然得是偶数个，然后随便将其两两匹配连边 如果此时$E$为奇数，随便给一个节点连一条自环 现在是能跑出一条长度为偶数的欧拉回路，给每条边编一个时间戳，奇数则让边的方向
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