2024牛客暑期多校训练营6 K.The Great Wall 2

题意

给定长为\(n\)的序列\(\{a_i\}\)，分成恰好\(k\)个非空连续段使得这\(k\)的极差之和最小，对\(k=1,2,\cdots,n\)分别求解。\(n\le 5000\)

做法

定义：令\(f_{i,j}\)为将前\(i\)个数分成\(j\)段的最小极差之和，令\(w_{l,r}\)为\(a_l,\cdots,a_r\)的极差。

按\(j=1\sim n\)按层转移：

\[f_{i,j}=\min_{i_1=1}^{i}f_{i_1-1,j-1}+w_{i_1,i} \]

观察：对任意\(i_1<i_2\le i\)，若\(f_{i_1-1,j-1}+w_{i_1,i}\le f_{i_2-1,j-1}+w_{i_2,i}\)，则对任意\(i'>i\)，\(f_{i_1-1,j-1}+w_{i_1,i'}\le f_{i_2-1,j-1}+w_{i_2,i'}\)。即对于\(i_1<i_2\)，\(i_1\)对某一段后缀的转移比\(i_2\)优。

做法一\(O(n^2\log n)\)：

考虑对于\(i=j\sim n\)，动态维护一个决策序列\(j\le i_1,i_2,\cdots,i_{len}\le i\)（其中的每个点可能会成为某个\(i'\ge i\)的最优决策点），满足\(f_{i_k-1}+w_{i_k,i}>f_{i_{k+1}-1}+w_{i_{k+1},i}\)。\(i_{len}\)为\(i\)的最优决策点。

对应相邻的\(i_k,i_{k+1}\)，可以二分出\(i_{k+1}\)何时会再比\(i_k\)更优，此时可以将其踢出序列。

序列用链表维护。实测与\(\text{std}\)跑得差不多快。

做法二（官方题解）\(O(n^2\alpha(n))\)：

考虑对于\(i=j\sim n\)，动态维护一个决策序列\(j\le i_1,i_2,\cdots,i_{len}\le i\)（其中的每个点可能会成为某个\(i'\ge i\)的最优决策点），满足\(f_{i_k-1}+w_{i_k,i}>f_{i_{k+1}-1}+w_{i_{k+1},i}\)。\(i_{len}\)为\(i\)的最优决策点。

考虑从\(i\)到\(i+1\)不同\(k\)的\(w\)增量\(\Delta_k=w_{k,i+1}-w_{k,i}\)。
增量的形式可以表示为\((l_1,r_1,\delta_1)(l_2,r_2,\delta_2)\cdots(l_{tot},r_{tot},\delta_{tot})\)（\(r_i=l_{x+1}-1\)、\(\delta_x<\delta_{x+1}\)），满足\(\forall k\in [l_x,r_x].\Delta_k=\delta_x\)

可以如此考虑维护决策序列：
从\(x=tot\sim 1\)，找到\([l_x,r_x]\)中最大的决策点\(i_k\)（或者说，找到\(\le r_k\)的最大决策点），反复与其后面一个决策点进行比较，如果更优则将后面一个决策点踢掉。

观察2：可以不按\(x\)降序的顺序而是任意对于\(\{1,2,\cdots,tot\}\)的任意顺序，进行踢决策点的操作。

观察3：对于所有可能的\(r_x\)，可以通过两个单调栈，分别维护后缀最小值和后缀最大值的过程得到。

对于某个位置\(pos\)，如何找到\(\le pos\)的最大决策点和\(> pos\)的最小决策点，可以通过并查集得到。