线代笔记

定理：一个\(n\times n\)矩阵\(A\)可正交对角化的充要条件是\(A\)是对称矩阵。

证明：
必要性：若\(A\)可正交对角化，\(A=PDP^{T}\)，显然\(A^T=A\)
充分性：
设\(A\)的特征值为\(\lambda_1,...,\lambda_n\)，\(\varepsilon_1\)为\(\lambda_1\)的单位特征向量，将\(\varepsilon_1\)扩充为一组实向量标准正交基\(\varepsilon_1,\eta_2,...,\eta_n\)
构造\(Q_1=\begin{pmatrix} \varepsilon_1,\eta_2,...,\eta_n \end{pmatrix}\)
有\(Q_1^TAQ_1=\begin{pmatrix} \lambda_1 & *\\ 0 & A_1 \end{pmatrix}\)
因为\(Q_1^TAQ_1\)与\(A\)相似，所以\(A_1\)的特征值为\(\lambda_2,...,\lambda_n\)
同理得到\(Q_2^TA_1Q_2=\begin{pmatrix}\lambda_2 & *\\0 & A_2\end{pmatrix}\)
有\(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & Q_2^T\end{pmatrix}Q_1^TAQ_1\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & Q_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1 & * & *\\0 & \lambda_2 & *\\ 0 & 0 &A_2\end{pmatrix}\)
依次执行最终得到\(Q^TAQ=T\)，\(T\)为上三角矩阵且对角线为\(\lambda_1,...,\lambda_n\)
又\(T^T=Q^TA^TQ=Q^TAQ=T\)，故\(T\)为对角矩阵