gym104531 I Bracket

题意

题面

做法

结论：对于字符串\(s\)，其为合法括号序列的充要条件为
（1）\(|s|\)为偶数，
（2）构造序列\(a_i\)，若\(s_i\)='(' or '?'，则\(a_i=+1\)；若\(s_i\)=')'，则\(a_i=-1\)，\({a_i}\)的前缀和均\(\ge 0\)
（3）构造序列\(b_i\)，若\(s_i=\)')' or '?'，则\(b_i=+1\)；若\(s_i\)='('，则\(b_i=-1\)，\({b_i}\)的后缀和均\(\ge 0\)

证明显然

令\(sa_i,sb_i\)分别为\(\{a\},\{b\}\)的前缀和、后缀和。

推论：\(s_{l,r}\)为合法括号序列的充要条件为
（1）\(r-l+1\)为偶数
（2）\(\forall i\in[l,r]\)，\(sa_{l-1}\le sa_i\)
（3）\(\forall i\in[l,r]\)，\(sb_{r+1}\le sa_i\)

令\(nxt_i=\min\{x|x>i \and sa_x<sa_i\}\)，\(pre_i=\max\{x|x<i \and sb_x<sb_i\}\)

推论（2）（3）可改写为，\(r< nxt_{l-1}\)、\(l> pre_{r+1}\)

令\(f_i\)为前\(s[1:i]\)的最大价值，转移是一个经典的二维偏序问题