支配树笔记

鉴于原论文对半支配点的定义有点抽象，本文在不引入半支配点的概念下介绍支配树及所求算法。

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定义1.1：在一张有向图中，给定起点$s$，若删除点$x$后，$s$无法到达$y$（$x\neq y$），则称$x$为$y$的支配点，也称$x$支配$y$、$y$被$x$支配。特别的，$s$是除自身外所有点的支配点。

观察1.1：若$x$支配$y$，$y$支配$z$，则$x$支配$z$。

观察1.2：支配关系不会出现环。

观察1.3：若$z$同时被$x,y$支配，则$x,y$间存在支配关系。

证明：
若假设$y$不支配$x$且$x$不支配$y$，但$z$同时被$x,y$支配
对于任意一条到$z$的路径，由对称性不妨设路径先经过$x$再经过$y$，那么我们得到一条从$y$出发不经过$x$到达$z$的路径，由假设知存在一条由$s$出发不经过$x$到达$y$的路径，将两条路径合并得到一条从$s$出发不经过$x$到达$z$的路径，则$x$不支配$z$，与假设矛盾。

定义1.2：根据观察1.2与观察1.3，除$s$外的每个点$x$，必定存在支配点（$s$支配所有点），且支配点集里存在某个点$y$被集合中的其他所有点支配，若我们将该点为$x$的父亲，则可以建议一棵以$s$为根的有根树，我们将这棵树称为支配树。

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考虑如何求$\text{DAG}$的支配树。

观察2.1：$x$在支配树上的父亲，为所有在$\text{DAG}$中能直接到达$x$（即$\{y|\exists(y,x)\in E\}$）的点在支配树上的$\text{LCA}$。

证明：
若$|\{y|\exists(y,x)\in E\}|=1$，则显然$x$父亲为$y$；
若$|\{y|\exists(y,x)\in E\}|>1$，则支配$x$的点也必然支配所有的$y$。

故我们可以求该图的拓扑序，然后按拓扑序逐步建支配树。

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下面观察一般有向图的一些性质。

观察3.1：对于任意$\text{dfs}$树，$x$的支配点一定为$x$的祖先。

定义3.1：对于某棵$\text{dfs}$树，$[x,y]$表示$x$到$y$最短路径的点集，$(x,y)$表示$x$到$y$最短路径不包括$x,y$的点集。

定义3.2：对于$x$的祖先$y$，若存在从$y$出发不经过$(y,x)$到达$x$的路径，则称$y$满足条件，令所有满足条件的$y$中深度最小的为$\text{sdom(x)}$。

除$s$外任意点均存在$\text{sdom(x)}$，因为在$\text{dfs}$树上的父亲一定满足条件。

观察3.2：$(\text{sdom(x)},x)$中任意点不是$x$的支配点。

证明：
我们可以构造出从$s$出发不经过$(\text{sdom(x)},x)$中任意点到达$x$的路径：$s$沿树边到达$\text{sdom(x)}$，由定义可知存在从$\text{sdom(x)}$出发不经过(\text{sdom(x)},x)而到达$x$的路径，将两条路径接上即可。

观察3.3：对于$x$的某个祖先$z$，不被$(\text{sdom(x)},x)$包含，且不被任意$x$的祖先$y$的$(\text{sdom(y),y})$包含，是$z$为$x$支配点的充要条件。

证明：
假设$z$被某个包含了，则必定不为支配点。
否则，假设$z$未被任何包含，且不为$x$的支配点，一定存在从$s$到$x$不经过$z$的路径$s=v_0,v_1,\cdots,v_m=x$，这条路径中一定存在$v_{k_1},v_{k_2}$（$k_1<k_2$）为$x$的祖先，满足$\forall i\in(k_1,k_2) ,v_i$均不为$x$的祖先且$v_{k_1},v_{k_2}$在$\text{dfs}$树中的路径包含$z$，则$sdom(v_{k_2})$一定为$v_{k_1}$或其祖先，则$(sdom(v_{k_2}),v_{k_2})$包含$z$，与$z$未被包含矛盾。

若我们得到了所有的$\{\text{sdom}(i)\}$，那么求支配树父亲将非常简单，下面介绍如何求$\{\text{sdom}(i)\}$

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先探究$\{\text{sdom}(i)\}$的性质

假设$\text{sdom(x)}$到$x$不经过$(\text{sdom(x)},x)$的路径中的最后一条边为$(y,x)$，那么有两种情况。
$1)$：$y$为$x$的祖先。
$2)$：最后一条边为横插边或后向边。

对于$1)$，则此时$\text{sdom(x)}=y$；
对于$2)$，不妨设此路径为$sdom(x)=v_0,v_1,\cdots,v_{m-1}=y,v_m=x$，设路径中第一个位于$(\text{LCA}(x,y),y]$中的点$v_k$，一定有$sdom(v_k)=sdom(x)$，而此路径中其他位于$(\text{LCA}(x,y),y]$中的点$sdom$的深度一定大于等于$sdom(v_k)$的深度。

证明：
若$sdom(v_k)\neq sdom(x)$，由于存在以上路径，$sdom(v_k)$的深度一定小于$sdom(x)$，此时$sdom(v_k)$也为$x$的祖先，由于存在$sdom(v_k)$到$v_k$不经过$(sdom(v_k),v_k)$的路径，此路径必定不经过$(sdom(x),x)$，该路径再依次接$v_{k+1},\cdots,v_m$即可得到从$sdom(v_k)$到$x$不经过$(sdom(v_k),x)$，与$sdom(x)$定义矛盾，故$sdom(v_k)=sdom(x)$。
若对于此路径中其他位于$(\text{LCA}(x,y),y]$中的点$l$，若$\text{sdom}(l)$深度小于$\text{sdom}(v_k)$，即$\text{sdom}(x)$，我们仍然可以构造出从$\text{sdom}(l)$到达$x$不经过$(\text{sdom}(l),x)$的路径，与$\text{sdom}(x)$定义矛盾。

由以上，我们得到求$\text{sdom(i)}$的算法

枚举$(y,x)$
$1)$：$y$为$x$的祖先，用$y$更新$\text{sdom}(x)$
$2)$：$y$不为$x$的祖先，设$z$为$\text{LCA}(x,y)$，用$(z,y]$中点的$\text{sdom}$更新$\text{sdom}(x)$

易知$2)$中$dfn(y)>dfn(x)$，对$\text{dfn}$倒序更新$\text{sdom}$。