牛顿插值法

退役前写的东西

令$F(x)$为$n$次项多项式

拉格朗日插值：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n f(x_k)l_k(x)=\sum\limits_{k=0}^n f(x_k)\prod\limits_{i\neq k}^n \frac{x-x_i}{x_k-x_i}$
因为很简单记忆，在OI中应用广泛

缺点：在增加或减少次项时需要重新全部计算

为实现在增加或减少次项时快速计算，我们构造：

$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots a_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})$$

这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式。记为$N_n(x)$，需要满足$N_n(x_i)=y_i$

定义1：设函数$f(x)$在点$x_0,x_1,\cdots$的值为$f(x_0),f(x_1),\cdots$，称$\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}(i\neq j)$为$f(x)$在点$x_i,x_j$处的一阶差商，记为$f[x_i,x_j]$。称一阶差商的差商$\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}(i,j,k互异)$为$f(x)$在$x_i,x_j,x_k$处的二阶差商，记为$f[x_i,x_j,x_k]$。
一般地，称m-1阶差商的差商：$f[x_0,x_1,\cdots,x_m]=\frac{f[x_1,x_2,\cdots ,x_m]-f[x_0,x_1,\cdots ,x_{m-1}]}{x_m-x_0}$，为$f(x)$在点$x_0,x_1,\cdots, x_m$处的$m$阶差商。特别地，零阶差商$f[x_i]=f(x_i)$

性质1：$k$阶差商$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]$是由$f(x_0),f(x_1),\cdots ,f(x_k)$线性组合成的。有$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]=\sum\limits_{i=0}^k \frac{f(x_i)}{(x_i-x_0)\cdots (x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots (x_j-x_k)}$

证明：
靠归纳显然成立

性质2：差商具有对称性，即在$k$阶差商$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]$中任意调换$2$个节点$x_i,x_j$的顺序，其值不变。

证明：
根据结论1显然成立

性质3：$k$阶差商$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]$和$k$阶导数$f^{(k)}(x)$之间有如下关系：
$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\frac{f^{(k)}(\delta)}{k!}(\delta \in (min\{x_0,x_1,\cdots,x_k\},max\{x_0,x_1,\cdots ,x_k\})$

证明：
挖坑。下面用不到这条性质。

考虑一个一个添加项：
由$N_0(x_0)=f(x_0)$，可得
$a_0=f(x_0)=f[x_0]$
由$N_1(x_1)=f(x_1)$，可得
$a_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_0,x_1]$
由$N_n(x_2)=f(x_2)$，可得
$\begin{aligned} a_2&=\frac{f(x_2)-f(x_0)-f[x_0,x_1](x_2-x_0)}{(x_2-_0)(x_2-x_1)}\\ &=\frac{\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}\\ &=\frac{f[x_0,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}\\ &=f[x_1,x_0,x_2]\\ &=f[x_0,x_1,x_2]\\ \end{aligned}$
一般地，可以证明有$a_k=f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]$

故$N_n(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2,\cdots ,n)$的$n$次牛顿插值多项式为：
$\begin{aligned}\\ N_n(x)&=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\ &+\cdots +f[x_0,x_1,\cdots ,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-1})\\ \end{aligned}$

另一种简单的证明方式：
我们来证明$[y_1,\cdots,y_n](x_n-x_1)\cdots (x_n-x_{n-1})=y_n-P(x_n)$（$P(x)$是最高度为$n-2$的通过点$(x_1,y_1),\cdots,(x_{n-1},y_{n-1})$）。
若成立，容易得到牛顿多项式就为原多项式。

归纳法：
边界：$[y_1,y_2](x_2-x_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_2-x_1)=y_2-y_1=y_2-P(x_2)$（$P(x)=y_1$）
$\begin{aligned} &[y_1,\cdots,y_{n+1}](x_{n+1}-x_1)\cdots (x_{n+1}-x_{n})\\ &=\frac{[y_2,\cdots,y_{n+1}]-[y_1,\cdots,y_n]}{x_{n+1}-x_1}(x_{n+1}-x_1)\cdots (x_{n+1}-x_{n})\\ &=([y_2,\cdots,y_{n+1}]-[y_1,\cdots,y_n])(x_{n+1}-x_2)\cdots (x_{n+1}-x_{n})\\ &=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_1,\cdots,y_n](x_{n+1}-x_2)\cdots (x_{n+1}-x_{n})\\ &=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_1,\cdots,y_n](x_{n+1}-x_2)\cdots (x_{n+1}-x_{n}))\\ \end{aligned}$
（其中$Q(x)$是最高度为$n-2$通过点$(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$）
令$P(x)=Q(x)+[y_1,\cdots,y_n](x-x_2)\cdots(x-x_n)$，下面证明$P(x)$通过点$(x_1,y_1)\cdots(x_{n},y_n)$且最高度为$n-1$。下面证明$P(x)$通过$(x_1,y_1)$，根据性质2剩下点也容易证明。
$\begin{aligned} &Q(x_1)+[y_1,\cdots,y_n](x_1-x_2)\cdots(x_1-x_n)\\ &=Q(x_1)+[y_n,\cdots,y_1](x_1-x_n)\cdots(x_1-x_2)\\ &=Q(x_1)+y_1-Q(x_1)\\ &=y_1\\ \end{aligned}$