CF1477D

题意

给定一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图（无自环），需要构造两个\(n\)阶排列\(\{p\},\{q\}\)，\(\forall (u,v)\in E\)满足\((p_u-p_v)(q_u-q_v)>0\)，最大化\(\sum [p_i\neq q_i]\)

\(n\le 5\times 10^5\)

做法

很有意思的题

显然，若一个点的度数为\(n-1\)，一定满足\(p_i=q_i\)。

那么答案的上界为\(n-|\{u\in V|deg_u=n-1\}|\)，用以下方式构造出这个上界。

忽略所有\(deg_i=n-1\)的点。
如果我们可以将剩下的点分为若干个集合，满足：每个集合至少有两个点，且存在一个点与集合内其他节点没有关联。

那么可以通过如下方法实现：

对于每个集合\(|S|=k\)，令与集合内其他节点没有关联的点为\(x\)（后文称之为关键点），那么可以令这个集合内点在两个排列中对应的集合相同，且为一个连续的区间\([l,r]\)，在\(p\)中相对大小分别为\(1,2,3,\ldots,k\)，在\(q\)中相对大小分别为\(2,3,\ldots,k,1\)（这里假设\(x\)在\(p\)中为\(k\)，在\(q\)中为\(1\)）。

由于\(x\)与集合内其他点没有关联，则无所谓，而集合内其他点的相对大小不变。
再有这个集合在排列中均为连续区间\([l,r]\)，故集合内与集合外的点的相对大小不变。
（这里的不变，指两个排列中不变）

那么是否可以将剩余点分为若干个集合呢？
考虑剩余点构成的图有什么性质：每个点至少与一个点没有关联。

我们通过如下构造证明有解：

若存在一个点\(v\)，只与\(u\)无关联，则让\(u\)作为关键点，对于所有只与其无关联的点，拿出来，作为一个集合\(S+\{u\}\)。
移除后的合法性：若移除后剩余点集，存在点与所有点均有关联，说明其原来必定同\(S\)中某点无关，这与\(S\)的定义相悖。
若不存在某点，至于一个点无关联，即每个点至少与两个点无关，那么任意拿出两个无关的点对\((x,y)\)，对于其他只与\(x,y\)无关的点，拿出来，作为一个集合\(S+\{x\}+\{y\}\)。
合法性同理。

我做到这里大概就结束了，因为上述方法虽然能完成证明，但使用其来构造是很困难的，因为要维护：\(\{v\in V|v只存在两个无关联点\}\)，我无法实现，如果哪位大佬会的话，不吝赐教。

有两种比较简单实现的方法：
一、
对于一个尚未考虑的\(x\)，取任意一个与其无关的点\(y\)。

• 若\(y\)也未考虑过，将\(x,y\)划分到一个结构中。
• 如果\(y\)在某个结构，且是该结构的关键点或该结构大小为\(2\)，那么\(y\)作为关键点，\(x\)加入该结构。
• 若\(y\)在某个结构，不是该结构的关键点，且结构大小\(>2\)，那么将\(y\)移除，将\(x,y\)划分为一个结构。

二、
引理：任意一个\(|V|\neq 0\)的\(\text{dfs}\)树，均可以分割成上述所说的若干个集合（即若干个菊花图）

考虑每次最深的叶子节点所在菊花图，然后通过归纳容易证明

就只需要求补图的\(\text{dfs}\)树，容易线性时间内得到。