杂题

题意

给定一个\(n\)阶随机的排列，再给定\(K\)，求最长的子序列的长度，满足有至多\(K\)对相邻元素中左边的大。
\(n\le 50000\)

做法

有一个显然的做法，\(f_{i,k}\)为以\(i\)结尾，有\(k\)个特殊对的最长长度，有：

\[f_{i,k}=1+\max(f_{j,k-[a_j< a_i]}) \]

可以维护\(K\)棵线段树做到\(O(K\cdot n\log n)\)，空间复杂度\(O(K\cdot n)\)。

有如下减少转移的条件，可以忽略\(j\)对\(i\)的转移
（1）若\(a_j< a_i\)，且存在\(p\)，满足\(j< p< i,a_j< a_p< a_i\)。
（2）若\(a_j> p_i\)，且存在\(p\)，满足\(j< p< i\)，\(a_p< a_i\)或\(a_j< a_p\)。

对于（1），转移到\(i\)的\(j\)是：忽略掉\(> a_i\)的数后的后缀最大值的位置。

对于（2），转移到\(i\)的\(j\)是：找到最大的\(p< i\)，满足\(a_p< i\)，对于\((p,i)\)中，忽略\(< a_i\)的数后的后缀最大值的位置。

由于排列是随机的，有效的转移位置集合只有\(O(\log n)\)，同样可以做到\(O(K\cdot n\log n)\)。

假设整个序列特殊对的数量有\(C\)个，若\(C\le K\)，那么答案显然是整个排列。

否则，显然最优解是选择一个恰有\(K\)个特殊对的子序列。

观察：由于排列是随机的，\(K\)对在排列中的位置期望是均匀的。

也就是，在位置\(i\)时。最优子序列必须具有近似\(K\cdot \frac{i}{n}\)个特殊对。

因此，我们设一个阈值\(B\)，在每个位置，仅存储\(O(B)\)个状态，那么这部分复杂度将降低为\(O(B\cdot n\log n)\)，空间复杂度降为\(O(B\cdot n)\)。
当然也可以用动态开点线段树，空间复杂度\(O(B\cdot n\log n)\)。