CF1515G

题意

给定一个带边权的有向图，\(q\)次询问，给定\(u,p,x\)，问是否存在从\(u\)出发的回路（可以重复走），使得边权之和\(\equiv x(\mod p)\)。
\(n,m,q\le 2\cdot 10^5,0\le x<p\le 10^9\)

做法

这道题很容易想出做法，下面讲讲理论。

考虑一般情况，给定图为强连通图。

引理1：在模意义下，若从\(u\)到\(v\)存在\(x\)长度的路径，则从\(v\)到\(u\)存在\(-x\)长度的路径。

证明：
对于\(v\)到任意一条到\(u\)的长度为\(y\)的路径，再加上\(u\)到\(v\)长度为\(x\)的路径，绕这个环走，可以得到\(ky+(k-1)x(k\ge 1)\)，\(py+(p-1)x\equiv -x(\mod p)\)。

引理2：在模意义下，若从\(u\)出发，存在长度为\(x\)的回路，则从任意点出发都存在长度为\(x\)的回路。

证明：
对于从\(\forall u'\in V\)，任意一条\(u'\rightarrow u\)长度为\(y\)的路径，根据引理1，则存在一条\(u\rightarrow u'\)长度为\(-y\)的路径，从\(u'\)出发，依次经过这三段路径：\(y+x+(-y)=x\)。

任选一点\(r\)为根，对于任意一棵生成树，令\(d_u\)为从\(r\rightarrow u\)树上路径和，对于每条非树边\((u,v,w)\)，存在长度为\(w+d_u-d_v\)的环。

引理3：任何环，都可由上述环线性组合。

证明：
对于环\(u_1\rightarrow u_2\rightarrow \ldots \rightarrow u_k\rightarrow u_{k+1}(u_{k+1}=u_1)\)，对于任意\(u_i\rightarrow u_{i+1}\)，若这条边为非树边，则用\(w(u_i,u_{i+1})+d_{u_i-d_{u_{i+1}}}\)表示，最后得到的边权和恰好为这个环。

引理4：任意上述环的线性组合，均可对应图中的某条路径。

证明：
根据引理1，可以简单将两个环合并在一起，因为环之间的路径可以被抵消掉。

至此，将问题转化成了给定\(a_1,a_2,\ldots,a_m\)，能否在模意义下线性组合成一个数，这是个经典问题。