杂题

题意

给定一个长度为\(n\)的\(\text{01}\)序列，可以将序列分成若干块（每个位置恰好属于一个块），使得每个块和为奇数，对于\(i\in[1,n]\)，求每块长度\(\le i\)最少可以分成多少块。
\(n\le 1e6\)

做法

假设每块长度不超过\(m\)。

令原序列为\(\{a_i\}_{i=1}^n\)，令\(b_i=\bigoplus\limits_{j=1}^i a_j\)。

那么就是从\(0\)到\(n\)，每次跳的位置不用于当前的\(b_i\)。

观察1：若当前在位置\(i\)，最优解一定为这两种情况：
（1）\((i,i+m]\)内离\(i\)最远的，不同于\(b_i\)的位置。
（2）假设（1）的位置为\(j\)，最大的\(k(b_k=b_i)\)使得\((i,k)\)存在不同于\(b_i\)的。

那么可以在预处理后，单次\(O(n)\)次求解。

观察2：若存在解，则最少步数\(\le 3\lceil\frac{n}{m}\rceil\)。

观察3：若\(i\)存在解走到\(n\)，那么每次走（2）必定能走到，且步数\(\le 3\lceil\frac{n-i+1}{m}\rceil\)。

现在，我们得到了一个\(O(n/m)\)单次判断是否存在解。

观察4：若在\(i\)走（1）能到达\(n\)，那存在最优解在这一步走（1）。

现在，得到了一个单次\(O((n/m)^2)\)求解：即每次\(O(n/m)\)判断（1）位置是否可以到达\(n\)，若可以则走，否则走（2）。

结合\(O(n)\)的做法，得到了一个\(\min(n,(n/m)^2)\)，\(\sum\limits_{m=1}^n \min(n,(n/m)^2)\)是\(O(n\sqrt{n})\)级别的。

\(O(n\log n)\)预处理出点\(i\)走到\(n\)最小的\(m\)是多少，则可以单次\(O(\text{最优步数})\)，总复杂度\(O(n\log n)\)。