ARC120E

题意

每个人所在位置为\(a_i\)（\(a_i< a_{i+1}\)，\(a_i\)均为奇数），每秒每个人可以选择往左或往右最多一定\(1\)的距离，问最少最长时间内，对于每个\(i< n\)，满足存在一个时刻\(i,i+1\)两个人位于同一位置。
\(n\le 2e5,a_i\le 1e9\)

做法

显然，可以令每个人的决策为两种：
（1）开始往左走，在碰到左边的人之后往右一直走。
（2）开始往右走，在碰到右边的人之后往左一直走。

令第一种方式为\(L\)，第二种为\(R\)。

定义1：若对于\(i,i+1\)，\(i\)是\(i+1\)第一个遇到的人，\(i+1\)也是\(i\)第一个遇到的人，称\(i\)与\(i+1\)匹配。

那么\(n\)个人有\(n-1\)种可能匹配。

引理1：存在最优解，使得不会有连续\(3\)种匹配不出现，即不会出现\(i-1,i,i+1,i+2\)，中间的三种匹配都失效。

证明：
若\(i-1\)为\(R\)，则\(i,i+1,i+2\)均为\(R\)，显然将\(i,i+1\)调整成\(R,L\)不会影响答案。
若\(i+2\)为\(L\)，则同理。
现在假设\(i-1,i+2\)分别为\(L,R\)

对于他们的路径，
若\(i,i+1\)分别为\(L,L\)，则\(i+1,i+2\)会在蓝色节点相遇；
若\(i,i+1\)分别为\(L,R\)，则\(i,i+1\)会在蓝色节点相遇；
若\(i,i+1\)分别为\(R,R\)，则\(i-1,i\)会在蓝色节点相遇。
故若将\(i,i+1\)改为\(R,L\)，不会使答案变劣。

推论1：不会出现连续四个位置为同一个选择。

考虑对于一种方案，一个段表示极长的，选择相同的，一大段表示两个\(R,L\)的相邻段。
对于一个大段\([R]...[R][L]...[L]\)，另这四个关键点的位置分别为\(x_1,x_2,x_3,x_4\)，其时间显然为\(\max(\frac{x_3-x_1}{2},\frac{a_4-a_2}{2})\)；而对于两个相邻的大段，令另一个段四个关键点分别为\(y_1,y_2,y_3,y_4\)，则其时间显然为\(\frac{y_3-x_2}{2}\)。

记\(f_{i,j}\)为：\(i\)为\(L\)，上一个\(R\)的位置为\(j\)的最少时间。转移枚举上一个大段的结尾。
根据推论1，\(j\)的个数为常数个，转移的个数也为常数个，故总复杂度为\(O(n)\)。