CF1528F

题意

对于一个长度为\(n\)的正整数序列\(\{a_i\}_{i=1}^n\)，定义其合法当且仅当存在一个长度为\(n\)的非负整数序列\(\{b_i\}_{i=1}^n\)，使得\(\{a_i+b_i\}_{i=1}^n\)构成一个\(n\)阶排列。
对于任意合法的序列\(\{a_i\}_{i=1}^n\)，一个长度为\(K\)的序列\(\{c_i\}_{i=1}^K\)，定义其合法当且仅当：\(\forall i\in[1,K]\)，满足\(a_{c_i}=a_{c_1}\)。
\(n\le 10^9,K\le 10^5\)。

做法

引理：序列\(\{a_i\}_{i=1}^n\)合法当且仅当，有\(n\)个车位，第\(i\)个人想停的位置为\(a_i\)，若已经存在车了，则走到下一个空位置。

容易证明。

这是经典的parking function问题，方法是构造一个环，有\(n+1\)个位置，令\(a_i\in[1,n+1]\)，这样总方案数为\((n+1)^n\)，合法的概率为\(\frac{1}{n+1}\)，故合法方案数为\((n+1)^{n-1}\)。

这里，\(a_{c_1}\)是多少并不重要（在答案基础上乘上\(n+1\)，由于最后还要除\(n+1\)，所以根本不需要管），枚举其个数，有：

\[ans=\sum\limits_{i=0}^n {n\choose i}i^Kn^{n-i} \]

这是个经典问题，容易化简得到：

\[\sum\limits_{j=0}^K \begin {Bmatrix} K \\ j\end {Bmatrix}j!{n\choose j}(n+1)^{n-j} \]

求一行的斯特林数容易做到\(O(K\log K)\)。

故总复杂度为\(O(K\log K)\)。