杂题

题意

给定\(16n\)个数，对于其的一个置换，令\(x=(a_1\oplus a_2)\otimes(a_3\oplus a_4)\otimes \cdots \otimes (a_{8n-1}\oplus a_{8n})\)，\(y=(a_{8n+1}\oplus a_{8n+2})\otimes (a_{8n+3}\oplus a_{8n+4})\otimes \cdots \otimes(a_{16n-1}\oplus a_{16n})\)，\(x-y\)最大是多少。
\(n\le 10^4,a_i\le 10^{9}\)。

做法

引理：\(n\ge 2\)时，对于任意\(8n\)个数字，一定存在置换方案使得\(y=0\)。

证明：
令\(f(n)\)表示对于\(8n\)个数，不考虑具体数值，有多少种本质不同的排列方案，显然\(f(n)=\frac{(8n)!}{2^{4n}(4n)!}\)。
令\(g(n)\)为结果\(>0\)的方案。
令\(g_i(n)\)为第\(i\)位为\(1\)的方案数，如果方案数不为\(0\)的话，那么恰好有\(4n\)个数第\(i\)为为\(1\)，则方案数为\((4n)!\)，故\(g_i(n)\le (4n)!\)。
有\(g(n)\le \sum\limits_{i=0}^{30}g_i(n)\le 30\dot (4n)!\)。
当\(n\ge 2\)时，有\(f(n)>g(n)\)。

因此我们仅需选择\(8n\)个数字，并排列，最大化\(x\)。

可以按位贪心，每次确定一些位集合，两个位集合互补的数字可以放到一个括号中。